BÀI 4: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1:  Cho tam giác đều MNP cạnh 2a. Tính .

Trả lời:

.  = |. ||.cos (; ) = MN. MP.cos 60⁰ = 2a.2a. = 2a²

Bài 2: Cho hai vectơ ,  thỏa mãn  = 3; | | = 2;  . = -3 . Xác định góc giữa 2 vectơ ,

Trả lời:

cos (, ) =  =  =  => (, ) = 120⁰

Bài 3: Cho tam giác HJK vuông cân tại K có HJ = a; Tính  .

Trả lời:

HJ = a => HK = JK = a

 . = JK. JH.cos 45⁰ = a.a . = a²

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính (+ ). ( + )

Trả lời:

(+ ). ( + ) = .( + ) =  .  +  . 

= 0 + AC. BC.cos 45⁰ = a . a . = a²

Bài 2: Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn BC = 3a , đáy nhỏ AD = a , đường cao AB = 2a. Tính  .

Trả lời:

 .  = ( - ).( - ) =  .  -  .  -  .  +  .

= | . |.cos 0⁰  – 0 – 0 - ² = BC. AD – AB² = 3a.a – 4a² = - a²

Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và H là trung điểm BC. Tính .

Trả lời:

Tam giác ABC đều =>  = 30⁰ => (, ) = 150⁰

.  = AH. CA.cos (, ) = .a.cos 150⁰ = -

Bài 4 : Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua C. Tính .

Trả lời:

E là điểm đối xứng của D qua C => DE = 2a

.  = ( + .  =  .  +  = 0 + DE. AB.cos 0⁰ = 2a²

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho .  =  .

Trả lời:

.  =  .  ⬄ .  -  .  = 0

⬄ . ( -  ) = 0 ⬄  .  = 0 ⬄ AB ⊥ CM

Tập hợp các điểm M là đường thẳng qua C vuông góc với AB.

Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng :

 . +  .  + .  = 0

Trả lời:

 . +  .  + . 

=  . +  ) +  . +  ) +  . +  )

=  . ( .  +  .  +  .  +  .  +  . +  . )

=  . [( .  +  .) + ( .  +  . ) + ( .  . )]

= 0

Bài 3: Cho H là trung điểm của AB và M là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng .  = HM² – HA²

Trả lời:

.  = ( +  ).( +  ) = ( +  ).( -  )

= ² - ² = HM² – HA²

Bài 4 : Một người dùng một lực  có độ lớn 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực  hợp với hướng dịch chuyển một góc 60⁰. Tính công sinh ra bởi lực

Trả lời:

Đặt OM = s là đoạn đường mà vật di chuyển được

Công sinh ra bởi lực  là:

                   A = .  = |.||.cos (; ) = 90. 100.cos 60⁰ = 2500 J

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho các vectơ ,  có độ dài bằng 1 và thỏa mãn điều kiện  – 3. | = 4. Tính cos (, )

Trả lời:

 – 3. | = 4 ⬄ ( – 3.  )² = 16 ⬄ 4.² – 12..  + 9.² = 16

⬄ 4. 1 – 12.cos (, ) + 9 = 16 ⬄ cos (, ) = -

Bài 2: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm M sao cho ( + )( + 2. + 3. ) = 0

Trả lời:

Gọi I là trung điểm của BC; D là điểm thỏa mãn  + 2. =  , E là trung điểm DC

( + )( + 2. + 3. ) = 0

⬄ 2. .6. = 0 ⬄   . = 0 ⬄ MI ⊥ ME

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính EI

Bài 3: Cho hai vectơ ,  có độ dài bằng 1 và góc tạo bới 2 vectơ bằng 60⁰ . Xác định cosin góc giữa hai vectơ ,  với  =  +2. ;  =  -

Trả lời:

Ta có : .  = ( +2.).( - ) = ² + . - 2² = a² +||.||.cos (, ) – 2b² =

² = ( +2.)² = ² + 4.. + 4² = 1 + 4.1.1.cos 60⁰ + 4.1 = 7 => || =

² = ( - )² = ² - 2.. + ² = 1 - 2.1.1.cos 60⁰ + 1 = 1 => || = 1

cos (, ) =  =  = -

Bài 4 : Cho tam giác ABC đều cạnh 3a . Lấy M , N, P lần lượt trên 3 cạnh BC,CA, AB sao cho BM = a,CN = 2a, AP = x . Tìm x để AM ⊥ PN

Trả lời:

Chọn hệ vectơ cơ sở  =  ;  =

Ta có :

 =  +  =  +  = +  - ) =   +  

 =  -  =   -  

AM ⊥ PN ⬄  . = 0 ⬄ (  +  ). (  -  ) = 0

⬄ ( + 2.). (a -  x) = 0

⬄ a.² + (2a – x).. – 2x.² = 0

⬄a.9a² + (2a – x).a.a.cos 60⁰ – 2x.9a² = 0

⬄ a². ( 9a + a -  – 2x) = 0

⬄ 10a - x = 0 ⬄ x = 4a