BÀI 2 : ĐỊNH LÍ CÔSIN VÀ ĐỊNH LÍ SIN   (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1:  Cho tam giác ABC có b = 6; c = 8;  = 60⁰. Tính độ dài cạnh a

Trả lời:

a² = b² + c² - 2bc.cos A = 6² + 8² – 2. 6. 8. cos 60⁰ = 52 => a = 2

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 4 cm; BC = 7 cm; AC = 9 cm. Tính cos A.

Trả lời:

cos A =  =  =

Bài 3: Tính diện tích tam giác ABC biết a = 4; c = 5 ;  = 150⁰

Trả lời:

S = .a.c.sin B = . 4. 5. sin 150⁰ = 5

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Tính diện tích tam giác có độ dài 3 cạnh là 13; 14; 15

Trả lời:

p =  =  = 21

S =  =  = 84

Bài 2: Cho tam giác MNP có MN = 7; MP = 5; cos M = . Tính độ dài cạnh PN

Trả lời:

PN² = MN² + MP² – 2.MN.MP.cos M = 7² + 5² - 2.7.5. = 18 => PN = 3

Bài 3: Cho tam giác ABC có b² + c² – a² = bc. Tính số đo

Trả lời:

cos A =  =  =  =>  = 30⁰

Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = 5;  = 40⁰ ;  = 60⁰. Tính độ dài cạnh BC

Trả lời:

 = 180⁰ – ( 40⁰ + 60⁰) = 80⁰

 =  => BC = AB. sin A : sin C = 5. sin 40⁰ : sin 80⁰  3,3

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho tam giác MNQ có độ dài ba cạnh là 10; 21; 17. Tính bán kính đường tròn nôi tiếp tam giác.

Trả lời:

p =  =  = 24

S =  =  = 84

Bán kính đường tròn nội tiếp r =  =  = 3,5

Bài 2: Cho ΔABC thỏa mãn a⁴ = b⁴ + c⁴ . Chứng minh ABC là tam giác nhọn.

Trả lời:

a⁴ = b⁴ + c⁴ => cạnh a lớn nhất => góc A lớn nhất

a⁴ = b⁴ + c⁴ = (b² + c²)² – 2b²c² < (b² + c²)²

=> a² < b² + c² => cos A > 0 => A là góc nhọn

Mà A là góc lớn nhất => B và C là góc nhọn => ABC là tam giác nhọn

Bài 3:  Đứng ở vị trí A trên bờ biển, bạn Lan đo được góc nghiêng so với bờ biển tới một vị trí C trên đảo là 30⁰ . Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng 100m và đo được góc nghiêng so với bờ biển tới vị trí C đã chọn là 40⁰. Tính khoảng cách từ vị trí C trên đảo tới bờ biển theo đơn vị mét ( làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Trả lời:

  = 180⁰ – 30⁰ – 40⁰ = 110⁰

ΔABC , định lí sin :  =  => AC = 100.sin 40⁰ : sin 110⁰  68,4 (m)

ΔAHC có CH = AC.sin 30⁰  68,4.0,5  34,2 (m)

Vậy khoảng cách từ vị trí C trên đảo tới bờ biển khoảng 34,2 m

Bài 4 : Cho ΔABC thỏa mãn hệ thức b + c = 2a. Chứng minh sin B + sin C = 2.sin A

Trả lời:

 =  =  =>  = =  

ó =  ó sin B + sin C = 2.sin A

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là AB = c; BC = a; AC = b thỏa mãn hệ thức b(b² – a²) = c.(c² – a²) với b ≠ c. Tính số đo

Trả lời:

b(b² – a²) = c.(c² – a²) ó b³ – c³ – a²( b – c) = 0

ó ( b – c)( b² + bc + c² – a²) = 0

ó b² + bc + c² – a² = 0 ( vì b ≠ c)

ó b² + c² – a² = - bc

cos  =  =  =  =>  = 120⁰

Bài 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng sin A = sin B. cos C + sin C. cos B

Trả lời:

cos C =  ; cos B =

=> b.cos C + c. cos B = b. + c. =  +  =  = a

 =  =  = 2R => sin A = ;  sin B = ;  sin C =

Ta có : a = b.cos C + c. cos B ( chứng minh trên)

=>  = .cos C + .cos B

ó sinA = sin B. cos C + sin C. cos B ( đpcm)

Bài 3: Trong lần đến tham quan tháp Eiffel (ở Thủ đô Paris, Pháp), bạn Phương muốn ước tính độ cao của tháp. Sau khi quan sát, bạn Phương đã minh hoạ lại kết quả đo đạc ở hình dưới. Em hãy giúp bạn Phương tính độ cao h của tháp Eiffel (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trả lời:

ΔABD , tính chất góc ngoài =>   = 70⁰ – 50⁰ = 20⁰

ΔABD, định lí sin :  =  => BD = 154.sin 50⁰ : sin 20⁰  345 (m)

ΔBCD vuông tại C : CD = BD.sin  = 345.sin 70⁰    324 (m)

Vậy chiều cao h của tháp Eiffel khoảng 324 m

Bài 4: Để tính đường kính và diện tích của một giếng nước có dạng hình tròn, người ta tiến hành đo ba vị trí A, B, C trên thành giếng. Kết quả đo được : BC = 5m ;  = 145⁰ . Tính diện tích giếng nước ?

Trả lời:

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có :  = 2R

=> R = 5: ( 2.sin 145⁰)  4, 36 (m)

=> Diện tích giếng nước là 3,14 . 4,36²  59,69 (m²)