BÀI 2 : HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN   (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Đâu là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ?

1. a) b) c)

Trả lời:

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là a                    

Bài 2: Cho hệ bất phương trình      

Cặp số ( x; y) nào sau đây là một nghiệm của hệ bất phương trình trên ?

1. a) ( x ; y) = ( 6; 3) b) ( x; y ) = (2; -8) c) ( x ; y) = ( -4 ; -2)

Trả lời:

1. a) 6 + 3 ≤ 5 ( không thỏa mãn) => ( 6; 3) không là nghiệm của hệ bất phương trình.
2. b) 2 + (-8) ≤ 5 ( thỏa mãn) ; 5.2 - 2.(-8) ≥ 15 ( thỏa mãn ) => ( 2; -8) là nghiệm của hệ bất phương trình.
3. c) (-4) + ( -2) ≤ 5 ( thỏa mãn) ; 5.(-4) - 2.(-2) ≥ 15 ( không thỏa mãn ) => (-4; -2) không là nghiệm của hệ bất phương trình.

Bài 3: Điểm K(5; 7) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào ?

1. a) b) c)

Trả lời:

2. a) 2.5 + 7 > 10 ( đúng) ; 5 – 7 < 0 ( đúng) => điểm K thuộc miền nghiệm
3. b) 5 + 7 5 ( đúng); 5 – 2.7 < -4 ( đúng) => điểm K thuộc miền nghiệm
4. c) 3. 5+ 7 8 ( sai) => điểm K không thuộc miền nghiệm

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1 : Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình

Trả lời:

+) Vé đường thẳng d₁ : x – 2y = 0 ; d₂ : x + 3y = 3

+) Điểm M ( 1; 0) thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên miền không bị tô màu ( miền chứa điểm M) là miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Bài 2: Cho các điểm A(3;2); B(6; 3); C( 6;4); D( 5;4).Miền nghiệm của hệ phương trình sau không chứa điểm nào ?

Trả lời:

3 + 2 > 5 ( sai) => điểm A không thuộc miền nghiệm

Bài 3: Cho hệ bất phương trình

Cặp số ( x;y) nào sau đây là nghiệm của hệ bất phương trình (10; 2) ; (15; -5); (-3; 7)

Trả lời:

10 ≥ 0 ; 0 ≤ 2 ≤ 7 ; 10 + 2 ≤ 25; 2.10 – 3.2 > 5 ( đúng) => ( 10; 2) là nghiệm bpt

0 ≤ -5 ≤ 7 ( sai) => ( 15; -5) không là nghiệm bpt

-3 ≥ 0 ( sai) => ( -3; 7) không là nghiệm bpt

Bài 4 : Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình

Trả lời:

+) Vẽ các đường thẳng : d₁ : - x + 2y = 6 ; d₂ : x + y = 4 ; x = 0 ; y = 0

+) Điểm M ( 1; 1) thỏa mãn hệ bất phương trình => miền nghiệm là hình tứ giác OABC (miền không bị tô đậm)

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình

Trả lời:

+) Vẽ các đường thẳng : d₁ : 3x - y = -1 ; d₂ : 2x + y = 6 ; d₃ : x + 3y = 3

+) Điểm M ( 1; 1) thỏa mãn hệ bất phương trình => miền nghiệm là hình tam giác ABC (không tính cạnh AC) (miền không bị tô đậm)

Bài 2: Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối hợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể người. Théo đó một người mỗi ngày có thể tiếp nhận được không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B; một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B. Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày số đơn vị vitamin B không ít hơn  số đơn vị A nhưng không nhiều hơn 3 lần số đơn vị vitamin A. Gọi  x; y là số đơn vị vitamin A, vitamin B mỗi ngày cần dùng. Hãy viết hệ bất phương trình hai ẩn x; y

Trả lời:

Ta có hệ bất phương trình

Bài 3: Quảng cáo sản phẩm trên truyền hình là một hoạt động quan trọng trong kinh doanh của các doanh nghiệp. Giá quảng cáo trên tivi là 30 triệu cho 15 giây/1 lần quảng cáo vào khung giờ 20h30; là 6 triệu đồng cho 15 giây/ 1 lần vào khung giờ 16h -17h. Một công ty dự định chi không quá 900 triệu đồng để quảng cáo trên tivi với yêu cầu quảng cáo về số lần phát như sau: ít nhất 10 lần quảng cáo vào khoảng 20h30 và không quá 50 lần quảng cáo vào khung giờ 16h - 17h. Gọi x, y lần lượt là số lần phát quảng cáo vào khoảng 20h30 và vào khung giờ 16h -17h. Tìm x và y sao cho tổng số lần xuất hiện quảng cáo của công ty là nhiều nhất.

Trả lời:

Gọi x, y lần lượt là số lần phát quảng cáo vào khoảng 20h30 và vào khung giờ 16h -17h ( x, y  N; x ≥ 10; 0 ≤ y ≤ 50)

Tổng số lần phát quảng cáo là T = x + y

Số tiền chi cho quảng cáo là : 30x + 6y ( triệu đồng) ≤ 900 ⬄ 5x + y ≤ 150

Ta có hệ phương trình : 5x + y ≤ 150 ; x ≥ 10; 0 ≤ y ≤ 50

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với A(30; 0); B(20; 50); C(10; 50); D(10; 0)

T(A) = 30 + 0 = 30 ; T(B) = 20 + 50 = 70; T(C) = 10 + 50 = 60; T(D) = 10 + 0 = 10

=> T đạt giá trị lớn nhất = 70 tại x = 20 ; y = 50

Vậy phát sóng 20 lần vào 20h30 và 50 lần vào khung giờ 16h – 17h

Bài 4 : Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa (1 sản phẩm mới của công ty) cần thuê xe để chở trên 140 người và trên 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe A và B. Trong đó xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu, loại B giá 3 triệu. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất. Biết rằng xe A chỉ chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng. Xe B chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng.

Trả lời:

Gọi x ; y là số xe loại A, loại B ( x; y  N; 0 ≤ x ≤ 10 ; 0 ≤ y ≤ 9)

Tổng chi phí thuê xe là T = 4x + 3y ( triệu đồng)

Tổng số người 2 xe chở tối đa là : 20x + 10y ( người)

Tổng số tấn hàng 2 xe chở được là : 0,6x + 1,5y ( tấn)

Ta có hệ bất phương trình :

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác ABCD với A(10; 2); B(10; 9) ; C( ; 9) ; D( 5; 4)

T(A) = 46 ; T(B) = 67; T(C) = 47 ; T(D) = 32

=> T đạt giá trị nhỏ nhất = 32 khi x = 5; y = 4

Vậy để chi phí thấp nhất cần thuê 5 xe loại A và 4 xe loại B

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của F(x; y) = 3x – 2y , biết các điểm có tọa độ (x; y) thuộc miền tứ giác ABCD như hình vẽ.

Trả lời:

+) A( -3 ; 3) => F(-3; 3) = 3. (-3) – 2.3 = -15

+) B(2; 1) => F( 2; 1) = 3.2 – 2.1 = 4

+) C( -1; -1) => F (-1; -1) = 3.(-1) – 2.(-1) = -1

+) D(-3; 1) => F(-3; 1) = 3.(-3) – 2.1 = -11

=> Giá trị lớn nhất của F(x; y) = 4 tại ( x; y) = ( 2; 1)

      Giá trị nhỏ nhất của F(x; y) = -15 tại ( x;y ) = (-3; 3)

Bài 2: Trong một cuộc thi pha chế, hai đội A, B được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 210 g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Đội A pha chế được x lít nước cam và y lít nước táo và dành được điểm thưởng cao nhất. Tìm x; y

Trả lời:

Để pha chế x lít nước cam cần 30x gam đường, x lít nước và x gam hương liệu.

Để pha chế y lít nước táo cần 10y gam đường, y lít nước và 4y gam hương liệu.

Theo bài ra ta có hệ bất phương trình:

Số điểm thưởng đạt được là M( x;y) = 60x + 80y

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác ABCDE với A(4; 5); B(6; 3); C(7;0) ; D(0; 0 ); E( 0; 6)

M(A) = 640 ; M(B) = 600; M(C) = 420; M(D) = 0 ; M(E) = 480

Vậy giá trị lớn nhất của M bằng 640 khi x = 4; y = 5

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho tứ giác A(- 2; 0); B( 0; 3); C( 3; 2) ; D( 3; -2). Tìm giá trị m sao cho điểm M( m; m + 1) nằm trên hình tứ giác ABCD ( tính cả 4 cạnh AB, BC, CD, DA)

Trả lời:

Phương trình đường thẳng AB : -3x + 2y = 6

Phương trình đường thẳng BC : x + 3y = 9

Phương trình đường thẳng CD : x = 3

Phương trình đường thẳng DA : 2x + 5y = -4

=> Hình tứ giác ABCD tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình:

Điểm M( m; m + 1) nằm trên hình tứ giác ABCD tính cả 4 cạnh ⬄ m là nghiệm của hệ bất phương trình trên 

⬄  

⬄

⬄ -  ≤ m ≤

Bài 4 : Có hai cái giỏ đựng trứng gồm giỏ A và giỏ B, các quả trứng trong mỗi đều có hai loại là trứng lành và trứng hỏng. Tổng số trứng trong hai giỏ là 20 quả và số trứng trong giỏ A nhiều hơn số trứng trong giỏ B. Lấy ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng, biết xác suất để lấy được hai quả trứng lành là  . Tìm số trứng lành trong giỏ A.

Trả lời:

Gọi a là số trứng lành, b là số trứng hỏng trong giỏ A.

Gọi x là số trứng lành, y là số trứng hỏng trong giỏ B.

Xác suất để lấy được hai quả trứng lành:   .  =  

=> ( a + x ) ⁝ 55 ; (a+b)(x+ y) ⁝ 84

Ta có : a + x + b + y = 20 => (a+ x)(b + y) ≤ ()² = 100

Mà (a+b)(x+ y) ⁝ 84 => (a+b)(x+ y) = 84

=> a + b = 14; x + y = 6

Mà  ( a + x ) ⁝ 55 => a = 11; x = 5

Vậy giỏ A có 11 quả trứng lành.