Đáp án Toán 11 cánh diều Chương 4 bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

BÀI 5. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP

1. HÌNH LĂNG TRỤ 

LT-VD 1 trang 111 sgk toán 11 cánh diều

Cho một số ví dụ về những đồ dùng, vật thể trong thực tế có dạng hình lăng trụ. Đáp án:

Tháp Blade, lồng đèn, lều,...

1. HÌNH HỘP

LT-VD 2 trang 112 sgk toán 11 cánh diều

Hãy liệt kê các đường chéo của hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 73). 

Đáp án:

Các đường chéo của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là các đoạn thẳng AC’, BD’, CA’, DB’.

LT-VD 3 trang 113 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng bốn mặt phẳng (ABC'D'), (BCD'A'), (CDA'B'), (DAB'C') cùng đi qua một điểm. 

Đáp án:

Gọi O là giao của AC’ và BD’. 

Theo kết quả của Ví dụ 3, các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Nên AC’, BD’, CA’, DB’ đi qua O.
Vậy bốn mặt phẳng (ABC’D’), (BCD’A’), (CDA’B’), (DAB’C’) cùng đi qua một điểm.

BT 1 trang 113 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

1. a) Chứng minh rằng (ACB') ∥ (A'C'D). 
2. b) Gọi G1,G2 lần lượt là giao điểm của BD' với các mặt phẳng (ACB') và (A'C'D). Chứng minh rằng G1,G2 lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ACB' và A'C'D. 
3. c) Chứng minh rằng BG1 = G1G2 = D’G2.

Đáp án:

1. a) Tứ giác ACC'A' có AA'//CC' và AA'=CC' (tính chất hình hộp) nên tứ giác ACC'A' là hình bình hành. Do đó AC//A'C', mà A'C'A'C'D suy ra AC//A'C'D(1).

Tương tự, tứ giác A'B'CD cũng là hình bình hành nên B'C//A'D, mà A'DA'C'D suy ra B'C//A'C'D(2). Từ (1) và (2) suy ra ACB'//A'C'D.

1. b) Gọi O và O' lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và A'B'C'D'. Trong mặt phẳng BDD'B', gọi G1,G2 lần lượt là giao điểm của BD' ' với B'O và DO'.

Khi đó, G1=BD'ACB' và G2=BD'A'C'D.

Mà BD//B'D' nên G1OG1B'=OBB'D'=OBBD=12. Xét tam giác AB'C có trung tuyến B'O và G1OG1B'=12. Do đó G1 là trọng tâm của tam giác AB'C.

Chứng minh tương tự, ta cũng có G2 là trọng tâm của tam giác A'C'D.

13. c) Trong mặt phẳng BDD'B' có BD//B'D' nên BG1G1D'=OBB'D'=12 hay BG1BD'=13. 

Tương tự, ta cũng có D'G2BD'=13. Từ đó suy ra BG1=G1G2=G2D'.

 BT 2 trang 113 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AA', C'D', AD'. Chứng minh rằng: 

1. a) NQ ∥ A'D' và NQ = ½.A'D';
2. b) Tứ giác MNQC là hình bình hành
3. c) MN ∥ (ACD')
4. d) (MNP) ∥ (ACD'). 

Đáp án:

a)

+) Xét ∆AA’D’ có N, Q lần lượt là trung điểm của AA’ và AD’

Do đó NQ là đường trung bình của tam giác

Suy ra NQ // A’D’ và NQ = 12 A’D’.

b)

Ta có: A’D’ // AD // BC, mà NQ // A’D’ nên NQ // BC hay NQ // MC.

mà NQ = 12A'D';AD'=BC  nên NQ = 12 BC

Suy ra NQ = MC.

Tứ giác MNQC có NQ // MC và NQ = MC nên là MNQC hình bình hành.

c)

Do MNQC hình bình hành nên MN // QC

Mà QC ⊂ (ACD’) nên MN // (ACD’).

d)

Gọi O là trung điểm của ABCD.

+) Xét tam giác ABC có O, M lần lượt là trung điểm của AC, BC nên OM là đường trung bình của tam giác

Do đó OM // AB và OM = 12 AB.

Lại có D’P =12D’C’ và D’C’ = AB nên OM = D’P.

+) Xét tứ giác D’PMO có OM // D’P và OM = D’P nên D’PMO là hình bình hành

Suy ra PM // D’O

Mà D’O ⊂ (ACD’) nên PM // (ACD’).

+) Ta có: MN // (ACD’); PM // (ACD’);

           MN, PM cắt nhau tại điểm M và cùng nằm trong mp(MNP)

Do đó (MNP) // (ACD’).

 BT 3 trang 113 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và A'B'.

1. a) Chứng minh rằng EF ∥ (BCC'B'). 
2. b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng CF với mặt phẳng (AC'B). Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng CF.

Đáp án: 

1. a) Lấy D là trung điểm của AB (Hinh 15). Tứ giác ABB'A' là hình bình hành nên DF//BB', mà BB'BB'C'C suy ra DF//BB'C'C(1).

Do DE là đường trung bình tam giác ABC nên DE//BC, mà BCBB'C'C, suy ra DE//BB'C'C(2).

Từ (1) và (2) suy ra (DEF)//BB'C'C.

EF⊂(DEF) suy ra EF//BB'C'C

Trong mặt phẳng CC'FD, gọi I là giao điểm của CF và C'D. Do C'DAC'B nên I thuộc mặt phẳng AC'B. Vậy I là giao điểm của đường thẳng CF với mặt phẳng AC'B.

Tứ giác CC'FD có CC'//FD (vì cùng song song với BB' ) và CC'=FD (cùng bằng BB' ).

Do đó, tứ giác CC'FD là hình bình hành nên I là giao điểm của hai đường chéo CF và C'D nên I là trung điểm của CF.