Đáp án Toán 7 cánh diều Chương VI bài 4: Phép nhân đa thức một biến

BÀI 4: PHÉP NHÂN ĐA THỨC MỘT BIẾN

Khởi động

Câu hỏi: Trong quá trình biến đổi và tính toán những biểu thức đại số, nhiều khi ta phải thực hiện phép nhân hai đa thức một biến, chẳng hạn ta cần thực hiện phép nhân sau: (x-1)(x²+x+1).

Làm thế nào để thực hiện được phép nhân hai đa thức một biến?

Đáp án:

Muốn nhân hai đa thức một biến, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

I. Nhân đơn thức với đơn thức

Bài 1: Thực hiện phép tính...

Đáp án:

Bài 2: Tính…

Đáp án:

1. = =
2. = =

II. Nhân đơn thức với đa thức

Bài 1: Quan sát hình chữ nhật MNPQ ở hình 3.

1. Tính diện tích mỗi hình chữ nhật (I), (II)
2. Tính diện tích của hình chữ nhật MNPQ
3. So sánh: a(b+c) và ab+ac.

Đáp án:

1. Diện tích hình chữ nhật (I) là: a.b

Diện tích hình chữ nhật (II) là a.c

1. Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: a(b+c)
2. a(b + c) = ab + ac.

Bài 2: Cho đơn thức P(x) = 2x và đa thức Q(x) = 3x²+4x+1.

1. a) Hãy nhân đơn thức P(x)với từng đơn thức của đa thức Q(x).
2. b) Hãy cộng các tích vừa tìm được.

Đáp án:

1. a) Các đơn thức của đa thức Q(x) là 3x²; 4x; 1.

Ta có:

2x . 3x² = 2 . 3 . x . x² = 6 . x^{1 + 2} = 6x³.

2x . 4x = 2 . 4 . x . x = 8 . x^{1 + 1} = 8x².

2x . 1 = 2x.

1. b) Khi đó 2x . 3x²+ 2x . 4x + 2x . 1 = 6x³+ 8x² + 2x.

Bài 3: Tính

Đáp án:

III. Nhân đa thức với đa thức

Bài 1: Quan sát hình chữ nhật MNPQ ở Hình 4

1. Tính diện tích mỗi hình chữ nhật (I), (II), (III), (IV)
2. Tính diện tích hình chữ nhật MNPQ
3. So sánh (a + b)(c + d) và ac + ad + bc + bd

Đáp án:

1. Diện tích hình (I): ac

Diện tích hình (II): ad

Diện tích hình (III): bc

Diện tích hình (IV): bd

1. Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: (a + b)(c + d)
2. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Bài 2: Cho đa thức P(x) = 2x + 3 và đa thức Q(x) = x + 1

1. Hãy nhân mỗi đơn thức của đa thức P(x) với từng đơn thức của đa thức Q(x)
2. Hãy cộng các tích vừa tìm được.

Đáp án:

3. a) Các đơn thức của đa thức P(x)là: 2x; 3.

Các đơn thức của đa thức Q(x) là: x; 1.

Tích mỗi đơn thức P(x) với từng đơn thức của đa thức Q(x) lần lượt là: 2x²; 2x; 3x; 3.

1. b) (2x + 3)(x + 1) = 2x . x + 2x . 1 + 3 . x + 3 . 1 = 2x² + 2x + 3x + 3 = 2x² + 5x + 3

Bài 3: Tính

Đáp án:

IV. Bài tập

Bài 1: Tính…

Đáp án:

=

= 

=

=

Bài 2: Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức sau:…

Đáp án:

1. a) P(x) = (-2x²- 3x + x - 1)(3x²- x - 2)

= (-2x² - 2x - 1)(3x² - x - 2)

= -2x² . 3x² - (-2x²) . x - (-2x²) . 2 - 2x . 3x² - 2x . (-x) - 2x . (-2) - 1 . 3x² - 1 . (-x) - 1 . (-2)

= -6x⁴ + 2x³ + 4x² - 6x³ + 2x² + 4x - 3x² + x + 2

= -6x⁴ + (2x³ - 6x³) + (4x² + 2x² - 3x²) + (4x + x) + 2

= -6x⁴ - 4x³ + 3x² + 5x + 2

Khi đó đa thức P(x) có bậc bằng 4, hệ số cao nhất bằng -6, hệ số tự do bằng 2.

1. b) Q(x) = (x⁵- 5)(-2x⁶- x³ + 3)

= x⁵ . (-2x⁶) - x⁵ . x³ + x⁵ . 3 - 5 . (-2x⁶) - 5 . (-x³) - 5 . 3

= -2x¹¹ - x⁸ + 3x⁵ + 10x⁶ + 5x³ - 15

= -2x¹¹ - x⁸ + 10x⁶ + 3x⁵ + 5x³ - 15

Khi đó đa thức Q(x) có bậc bằng 11, hệ số cao nhất bằng -2, hệ số tự do bằng -15.

Bài 3: Xét đa thức…

Đáp án:

1. P(x) =

= x² . x² + x² . x + x² . 1 - 3x . x - 3x . (-a) + 

= x⁴ + x³ + x² - 3x² + 3ax + 

= x⁴ + x³ - 2x² + 3ax + 

1. Tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng

=> 1 + 1 - 2 - 3a +  =

=> a = .

Bài 4: Từ tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 20cm và 30cm, bạn Quân cắt đi ở mỗi góc của tấm bìa một hình vuông sao cho 4 hình vuông bị cắt đi có cùng độ dài cạnh, sau đó gấp lại để tạo thành hình hộp chữ nhật không nắp. Viết đa thức biểu diễn thể tích của hình hộp chữ nhật được tạo thành theo độ dài cạnh của hình vuông bị cắt đi.

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh của hình vuông là x (cm).

Khi đó chiều dài của hình chữ nhật sau khi cắt đi 2 hình vuông là 30 – 2x (cm).

Chiều rộng của hình chữ nhật sau khi cắt đi 2 hình vuông là 20 – 2x (cm).

Ta thấy kích thước đáy của hình hộp chữ nhật là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật sau khi cắt đi 2 hình vuông, chiều cao của hình hộp chữ nhật là độ dài cạnh của hình vuông.

Do đó thể tích của hình hộp chữ nhật đó là:

Vậy đa thức biểu diễn thể tích của hình hộp chữ nhật được tạo thành theo độ dài cạnh của hình vuông bị cắt đi là: .

Bài 5: Ảo thuật với đa thức

Bạn Hạnh bảo với bạn Ngọc:

“– Nếu bạn lấy tuổi của một người bất kì cộng thêm 5;

  – Được bao nhiêu đem nhân với 2;

  – Lấy kết quả đó cộng với 10;

  – Nhân kết quả vừa tìm được với 5;

  – Đọc kết quả cuối cùng sau khi trừ đi 100. Mình sẽ đoán được tuổi của người đó.”

Em hãy sử dụng kiến thức nhân đa thức để giải thích vì sao bạn Hạnh lại đoán được tuổi người đó.

Đáp án:

Gọi tuổi của người đó là x ().

Tuổi của người đó cộng thêm 5 được x + 5.

Nhân kết quả vừa tìm được với 2 được 2(x + 5) = 2x + 2 . 5 = 2x + 10.

Lấy kết quả đó cộng với 10 được 2x + 10 + 10 = 2x + 20.

Nhân kết quả vừa tìm được với 5 được 5(2x + 20) = 5. 2x + 5 . 20 = 10x + 100.

Kết quả sau khi trừ đi 100 là 10x + 100 - 100 = 10x.

Khi đó kết quả cuối cùng bằng 10 lần tuổi của người đó.