Giáo án NLS Toán 12 kết nối Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV cho HS đọc SGK trong 5 phút.

+ GV giới thiệu cho HS tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng  đối với đối tượng  tại thời điểm .

+ Sau đó, GV giới thiệu ý nghĩa thực tế của tốc độ thay đổi tức thời trong một số trường hợp thường gặp của đại lượng : hàm vị trí, nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời điểm , số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm , hàm chi phí.

+ GV trình chiếu khung kiến thức.

+ HS chú ý lắng nghe và ghi chép.

- GV cho HS nghiên cứu Ví dụ 1.

Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2m với vận tốc ban đầu 24,5 m/s là 

 

GV hướng dẫn HS:

 + a) Biểu thức vận tốc của vật tại thời điểm   là gì? Tại thời điểm  vận tốc vật đạt được là bao nhiêu?

+ b) Khi vật đạt độ cao lớn nhất có liên quan đến GTLN của hàm số h(t) không? Tại thời điểm nào vật đạt độ cao lớn nhất?

c) + Khi vật chạm đất thì độ cao của vật khi đó bằng bao nhiêu? Từ đó tính thời điểm   khi vật chạm đất.

+ Vận tốc của vật khi đó bằng bao nhiêu và nêu ý nghĩa của nó.

+ GV chỉ định 3 HS lên bảng trình bày từng ý a), b), c).

+ GV nhận xét, chốt đáp án.

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu Ví dụ 2

Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số , trong đó, thời gian t được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu , quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Tìm các giá trị của  và . Theo mô hình này, điều gì xảy ra với quần thể nấm men về lâu dài?

+ GV có thể hỏi HS một số câu hỏi:

• Tại thời điểm , quần thể có 20 tế bào thì ta được PT gì?
• Quần thể tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ thì ta được PT gì?

+ GV chỉ định một HS đứng tại chỗ nêu lại cách làm bài.

+ GV nhận xét và chốt cách làm.

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu Ví dụ 3

Giả sử chi phí  (nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị của một loại hàng hóa đó được cho bởi hàm số .

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm   và giải thích ý nghĩa.

c) So sánh   với chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 201.

+ GV chỉ định 3 HS lên bảng trình bày theo từng ý của SGK.

+ GV nhận xét và chốt cách làm.

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu Ví dụ 4

Để loại bỏ   chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là

(triệu đồng) 

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . Từ đó, hãy cho biết:

a) Chi phí cần loại bỏ ra sẽ thay đổi như thế nào khi x tăng?

b) Có thể loại bỏ được 100% chất gây ô nhiễm không khí không? Vì sao?

+ GV chỉ 1HS lên bảng khảo sát hàm số và 1 HS lên bảng trả lời 2 câu a) và b).

+ GV nhận xét và chốt cách làm.

- GV cho HS hoạt động theo nhóm bàn hoàn thành Luyện tập 1.

Khi máu di chuyển từ tim qua các động mạch chính rồi đến các mao mạch và quay trở lại qua các tĩnh mạch, huyết áp tâm thu (tức là áp lực của máu lên động mạch khi tim co bóp) liên tục giảm xuống. Giả sử một người có huyết áp tâm thu P (tính bằng mmHg) được cho bởi hàm số

trong đó thời gian t được tính bằng giây. Tính tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.  

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng.

Ghi nhớ

Giả sử   là một hàm số của  và ta viết . Nếu  thay đổi từ  đến , thì sự thay đổi của  là 

và sự thay đổi tương ứng của  là

Tỉ số  được gọi là tốc độ thay đổi trung bình của  đối với   trên đoạn .

Giới hạn  được gọi là tốc độ thay đổi tức thời của  đối với   tại điểm .

Như vậy, đạo hàm  là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng  đối với  tại điểm . Dưới đây, chúng ta xem xét một số ứng dụng của ý tưởng này đối với vật lí, hóa học, sinh học và kinh tế:

- Nếu  là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì  biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổ itức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật.

- Nếu  là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời điểm , thì  là tốc độ phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của chất điểm đó tại thời điểm .

- Nếu  là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm , thì   biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm .

- Nếu  là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất  đơn vị hàng hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời  của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên.

- Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên  xấp xỉ đối với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo, tức là đơn vị hàng hóa thứu  .

Ví dụ 1: SGK – tr.34

Hướng dẫn giải: SGK – tr.34.

Ví dụ 2: SGK – tr.34+35

Hướng dẫn giải: SGK – tr.34+35.

Ví dụ 3: SGK – tr.35

Hướng dẫn giải: SGK – tr.35.

Ví dụ 4: SGK – tr.35+36

Hướng dẫn giải: SGK – tr.35+36.

Luyện tập 1

Ta có: 

Tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim là  (mmHg/s).

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 12

BÀI 5: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT 

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN

Phần 1 : Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1: Giả sử chi phí  (nghìn đồng) để sản xuất bóng đèn của một nhà máy được cho bởi hàm số  . Hàm chi phí biên của nhà máy để sản xuất 150 cái là:

A. 120 000 đồng.  B. 134 900 đồng.

C. 146 200 đồng.  D. 110 100 đồng.

Câu 2: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng (cm), rồi gập tấm nhôm để được một cái hộp không nắp. Tìm  để hộp nhận được thể tích lớn nhất.

A..     B. .

C. .    D. .

Câu 3: Nồng độ của của axit  khi tham gia phản ứng hoá học tại thời điểm  được cho bởi hàm số . Tốc độ phản ứng tức thời (độ thay đổi nồng độ) của axit  tại thời điểm  là:

A. .    B. .

C. .    D. .

Câu 4: Một đoàn tàu đang di chuyển với vận tốc , với   (giây). Gia tốc của đoàn tàu tại thời điểm  là:

A. .    B. .

C.       D. .

Câu 5: Giả sử chi phí  (nghìn đồng) để sản xuất  bánh mì của một cửa hàng bánh được cho bởi hàm số  . Hàm chi phí biên của cửa hàng để sản xuất 150 bánh mì là:

A. 134 700 đồng.   B. 152 800 đồng.

C. 144 500 đồng.   D. 132 200 đồng.

Phần 2: Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1: Cho phương trình chuyển động của một chất điểm , với đơn vị đo của  là giây, và   là mét. 

a) Vận tốc của chất điểm khi  là 2 m/s.

b) Chất điểm đứng yên khi .

c) Vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất khi  là 3 m/s.

d) Vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi  là 10 m/s.

Câu 2: Cho phương trình chuyển động của một chất điểm , với đơn vị đo của  là giây, và   là mét. 

a) Vận tốc của chất điểm khi  là 24 m/s.

b) Chất điểm đứng yên khi .

c) Vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất khi  là 1 m/s.

d) Vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi  là 20 m/s.

Phần 3: Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ nước bằng gạch và xi mặng có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật, chiều dài gấp ba lần chiều rộng và không nắp. có chiều cao là , thể tích là 18 . Hãy tính chiều cao   của hồ nước sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất?

Câu 2: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ  là . Giả sử   là tốc độ truyền bệnh (người/ ngày) tại thời điểm , khi đó tốc độ truyền bệnh nhanh nhất vào ngày thứ bao nhiêu?