Giáo án dạy thêm Toán 12 kết nối Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

HOẠT ĐỘNG CỦA GV- HS

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập.

GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

• Nhắc lại bài toán tốc độ thay đổi của một đại lượng.

Thực hiện ví dụ tìm vận tốc tức thời của một vật.

Nêu quy trình các bước giải một bài toán tối ưu hóa.

Thực hiện ví dụ về bài toán tối ưu hóa.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập.

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận.

- Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập.

- GV đưa ra nhận xét, đánh giá chuẩn kiến thức.

 1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng

Đạo hàm  là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng  đối với  tại điểm . 

• Nếu  là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì  biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: .

• Nếu  là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời điểm , thì  là tốc độ phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của chất đó tại thời điểm .

• Nếu  là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm , thì  biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm .

• Nếu  là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất  đơn vị hàng hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời   của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên.

Ví dụ: Một chất điểm chuyển động theo quy luật ,  tính theo mét,  tính theo giây. Trong 5 giây đầu tiên, thời điểm nào tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.

Ta có:

, .

Lập bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có .

2. Một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản

Quy trình giải một bài toán tối ưu hóa:

Bước 1: Xác định đại lượng  mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.

Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là , và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo . Khi đó, đại lượng   sẽ là hàm số của một biến . Tìm tập xác định của hàm số .

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số  bằng các phương pháp đã biết và kết luận.

Ví dụ: Một công ty đánh giá rằng sẽ bán được  lô hàng nếu tiêu phí hết số tiền là  (triệu đồng) vào việc quảng cáo. Biết rằng  và  liên hệ với nhau bằng biểu thức , . Hãy tìm số lô hàng lớn nhất mà công ty có thể bán sau đợt quảng cáo và số tiền đã dành cho việc quảng cáo đó?

Ta có:

.

Lập bảng biến thiên:

Vậy, nếu công ty dành 15 triệu cho việc quảng cáo thì công ty sẽ bán được nhiều nhất là 231 lô hàng.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Bài toán tốc độ thay đổi của một đại lượng.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm hàm số biểu diễn cho đại lượng cần tính.

Bước 2: Ứng dụng đạo hàm vào để tìm các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bước 3: Kết luận.

Bài 1. Giả sử  là số lượng cá thể trong một đám vi khuẩn tại thời điểm ,  là số lượng cá thể lúc ban đầu. Khi đó tốc độ phát triển về số lượng của vi khuẩn tại thời điểm  chính là . Giả sử mẫu thử ban đầu của ta có  vi khuẩn. Tốc độ phát triển sau 4 giờ sẽ là bao nhiêu con vi khuẩn?

Bài 2: Trong một môi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn được cấy vào. Bằng thực nghiệm xác định được số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian bởi quy luật  (con vi khuẩn), trong đó  là thời gian (đơn vị giây). Hãy xác định thời điểm sau khi thực hiện cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên là lớn nhất?

Bài 3: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hộ có  con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng  (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

Bài 4: Cho phương trình chuyển động của một chất điểm , với đơn vị đo của  là giây, và  là mét. 

a) Khi nào chất điểm đứng yên?

b) Khi vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất, vật chuyển động được quãng đường dài bao nhiêu mét?

Bài 5: Nhiệt độ của một người trong cơn bệnh được cho bởi công thức , , trong đó  là nhiệt độ () theo thời gian  trong ngày. Tìm nhiệt độ lớn nhất  của người bệnh trong ngày và thời điểm mà nó xảy ra? Biết rằng  

DẠNG 1:

Bài 1:

Ta có:

Vậy tốc độ phát triển sau 4 giờ của vi khuẩn là:

con vi khuẩn.

Bài 2:

Ta có tốc độ phát triển của đàn vi khuẩn tại thời điểm  là:

Khi đó: .

Lập bảng biến thiên, ta được:

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận .

Vậy sau 10 giây cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên là 1005 con.

Bài 3:

Vậy với  con cá thì ta có

.

Khi đó .

Lập bảng biến thiên, ta có:

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra .

Vậy phải thả 12 con cá trên mỗi đơn vị diện tích để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất.

Bài 4:

a) Ta có:

Chất điểm đứng yên khi

Vậy tại thời điểm   và  thì vật đứng yên.

b) Ta có:

Lập bảng biến thiên:

Vậy khi vận tốc nhỏ nhất vật chuyển động được quãng đường là: .

Bài 5:

Ta có:

.

Mà:

Vậy nhiệt độ lớn nhất của người bệnh trong ngày là  khi phát bệnh ngày thứ 6.