Giáo án NLS Toán 12 kết nối Bài 6: Vectơ trong không gian

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

Nhiệm vụ 1: Tìm hiểu về tổng của hai vectơ trong không gian

- GV vẽ Hình 2.10 và cho HS đọc yêu cầu của HĐ3:

Trong không gian cho hai vectơ và không cùng phương. Lấy điểm và vẽ các vectơ  . Lấy điểm khác và vẽ các vectơ
  .

a) Giải thích vì sao   và  .

b) Giải thích vì sao là hình bình hành, từ đó suy ra  .

+ GV có thể đặt câu hỏi cho HS: Tứ giác là hình gì?

+ HS sử dụng dữ kiện của đề bài để trả lời và suy ra điều cần giải thích ở câu hỏi.

+ GV nhận xét, chốt đáp án.

+ GV trình chiếu nội dung trong khung kiến thức.

- GV yêu cầu HS nêu lại quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng. Từ đó GV rút ra nhận xét cho HS.

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu Ví dụ 3.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Tính độ dài của vectơ  .

+ Áp dụng quy tắc cộng vectơ, vectơ tổng của là vectơ nào?

+ Sử dụng tính chất hình vuông và định lí pythagore để tính độ dài vectơ đó.

+ GV gọi 1 HS đứng tại chỗ trình bày lại cách làm.

+ GV nhận xét và chốt đáp án.

- GV cho HS suy nghĩ và làm cá nhân Luyện tập 3.

Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ  .

+ GV gọi 1 HS lên bảng trình bày bài.

+ GV nhận xét và chốt đáp án.

- GV chỉ định một HS nhắc lại các tính chất của phép cộng vectơ trong mặt phẳng. Từ đó, GV dẫn dắt đến mục Chú ý.

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu Ví dụ 4.

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng  .

+ GV chỉ định 1HS lên bảng vẽ hình và trình bày bài.

+ GV nhận xét.

- GV cho HS làm việc cá nhân Luyện tập 4.

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng  .

+ GV gọi 1 HS lên bảng trình bày.

+ HS khác theo dõi và nhận xét.

+ GV nhận xét, chốt kiến thức.

- GV vẽ Hình 2.14 và cho HS đọc yêu cầu của HĐ4:

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) Hai vectơ   và   có bằng nhau hay không?

b) Hai vectơ   và   có bằng nhau hay không?

+ GV có thể yêu cầu HS nêu lại quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng.

Quy tắc hình bình hành:

+ GV gọi 2 HS lên bảng trình bày HĐ4.

+ GV nhận xét, chốt kết quả.

+ GV nói rằng kết quả trên được gọi là quy tắc hình hộp. 

+ GV trình chiếu nội dung trong Khung kiến thức. 

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu Ví dụ 5.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng  .

+ GV yêu cầu một HS đứng tại chỗ trình bày.

+ GV nhận xét, chốt đáp án.

- GV cho HS làm cá nhân Luyện tập 5.

Cho hình hộp chữ nhật BCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng  .

+ GV gọi 1 HS lên bảng trình bày bài.

+ HS dưới lớp theo dõi, nhận xét bài bạn.

+ GV nhận xét, sửa bài, chốt kiến thức.

Nhiệm vụ 2: Tìm hiểu về hiệu của hai vectơ trong không gian

- GV trình chiếu hình 2.15 và cho HS đọc yêu cầu của HĐ5:

Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa. Có nhận xét gì về độ dài và hướng của các vectơ biểu diễn hai lực đó?

+ GV gọi một HS đứng tại chỗ trả lời câu hỏi.

+ Các HS khác nhận xét, bổ sung.

+ GV chốt đáp án và trình chiếu nội dung trong Khung kiến thức.

- Từ nội dung trong khung kiến thức, GV rút ra chú ý cho HS.

- GV yêu cầu một HS nhắc lại định nghĩa hiệu của hai vectơ trong mặt phẳng.

Vectơ được gọi là hiệu của hai vectơ và và được kí hiệu là .

+ HS khác nhận xét, bổ sung.

+ GV chốt kiến thức, dẫn dắt đến khung kiến thức

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu Ví dụ 6

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

a)   và   là hai vectơ đối nhau;

b)  . 

+ GV chỉ định một HS đứng tại chỗ trình bày lại lời giải.

+ GV nhận xét.

- GV cho HS hoạt động cá nhân Luyện tập 6.

Trong ví dụ 6, chứng minh rằng:

a)   và   là hai vectơ đối nhau;

b)  .

+ GV gọi 1 HS lên bảng trình bày bài làm.

+ HS khác theo dõi, nhận xét, bổ sung.

+ GV chốt đáp án.

 - GV cho HS thời gian suy nghĩ Vận dụng 2.

Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị lớn hay nhà ga, sân bay thường có hai lần, trong đó có một lần lên và một lần xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi lần là hai vectơ đối nhau hay không? Giải thích vì sao?

+ GV gọi một HS đứng tại chỗ trả lời.

+ GV nhận xét, tổng kết.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.  

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

2. Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian

a) Tổng của hai vectơ trong không gian

HĐ3:

a) Vì     (cùng bằng  ) nên bốn điểm đồng phẳng và tứ giác là hình bình hành. Suy ra 
 .

Tương tự, ta có  .

b) Từ câu a, suy ra  , do đó bốn điểm đồng phẳng và tứ giác là hình bình hành. Vì vậy  .

Ghi nhớ

Trong không gian, cho hai vectơ . Lấy điểm bất kì và các điểm sao cho , . Khi đó vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và , kí hiệu .

Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

Nhận xét: Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng vẫn đúng trong không gian:

• Nếu là ba điểm bất kì thì 
  
• Nếu là hình bình hành thì 
  

Ví dụ 3: SGK – tr.49

Hướng dẫn giải: SGK – tr.49.

Luyện tập 3 

Ta có:  .

Suy ra, .

Chú ý: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng.

- Tính chất giao hoán: ;

- Tính chất kết hợp: ;

- Với mọi vectơ , ta luôn có: .

Ví dụ 4: SGK – tr.50

Hướng dẫn giải: SGK – tr.50

Luyện tập 4

Theo quy tắc ba điểm trong không gian, ta có:  . Từ đó lần lượt áp dụng tính chất phép cộng vectơ trong không gian, ta được:

HĐ4

a) Áp dụng quy tắc hình bình hành:
  .

b) Ta có:  .

Áp dụng quy tắc hình bình hành: 
 . Khi đó:

Quy tắc hình hộp

Cho hình hộp . Ta có:

Ví dụ 5: SGK – tr.50

Hướng dẫn giải: SGK – tr.50.

Luyện tập 5

Ta có:  

Áp dụng quy tắc hình hộp: 

b) Hiệu của hai vectơ trong không gian

HĐ5

Hai lực cùng phương, ngược hướng và có độ lớn bằng nhau.

Ghi nhớ

Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ được gọi là vectơ đối của vectơ , kí hiệu là .

Chú ý: 

• Hai vectơ là đối nhau nếu và chỉ nếu tổng của chúng bằng .
• Vectơ là một vectơ đối của vectơ .
• Vectơ được coi là vectơ đối của chính nó.

Ghi nhớ

Vectơ được gọi là hiệu của hai vectơ và và kí hiệu là . Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

Nhận xét: Với ba điểm bất kì trong không gian, ta có:

Ví dụ 6: SGK – tr.51

Hướng dẫn giải: SGK – tr.52

Luyện tập 6 

a) Hai vectơ   và   cùng phương, ngược hướng và có cùng độ dài nên là hai vectơ đối nhau.

b)  .

Vận dụng 2

Hai vectơ biểu diễn vận tốc mỗi lần là hai vectơ cùng hương, ngược hướng và có độ dài bằng nhau.

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

Nhiệm vụ 1: Tìm hiểu góc giũa hai vectơ trong không gian

- GV trình chiếu hình 2.21 và cho HS đọc yêu cầu của HĐ7:

Trong không gian, cho hai vectơ khác . Lấy điểm và vẽ các vectơ  . Lấy điểm khác và vẽ các vectơ  
.

a) Giải thích vì sao  .

b) Áp dụng định lí côsin cho tam giác và để giải thích vì sao  

+ GV gợi ý sử dụng phép trừ hai vectơ trong không gian để giải thích ý a.

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng trình bày bài.

+ HS dưới lớp theo dõi, nhận xét.

+ GV chốt đáp án và dẫn dắt đến nội dung trong Khung kiến thức.

+ GV trình chiếu nội dung trong khung kiến thức.

- GV có thể đặt câu hỏi cho HS:

• Làm sao để xác định góc giữa hai vectơ không chung gốc?

+ HS suy nghĩ và trả lời.

+ GV nhận xét và rút ra Chú ý.

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu Ví dụ 9.

Cho hình lập phương . Tính góc giữa các cặp vectơ sau:

a)  và  ;

b)   và  .

+ GV có thể đặt câu hỏi cho HS:

• Em có nhận xét gì về phương và hướng của hai vectơ   và  ?
• Vectơ  bằng với vectơ nào?

+ GV chỉ định hai HS đứng tại chỗ trình bày lại cách làm.

+ GV nhận xét, chốt đáp án.

- GV vẽ hình, cho HS làm cá nhân Luyện tập 9

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Tính các góc và .

+ GV yêu cầu 2 HS lên bảng trình bày.

+ HS khác theo dõi, nhận xét bài bạn.

+ GV sửa bài, chốt kiến thức.

Nhiệm vụ 2: Tìm hiểu tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.

- GV cho HS đọc yêu cầu trong HĐ8

Hãy nhắc lại công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng.

+ GV gọi một HS đứng tại chỗ trả lời.

+ GV nhận xét, trình chiếu nội dung trong Khung kiến thức và Chú ý.

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu Ví dụ 10.

Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau:

a)  ;

b)  .

+ GV đặt câu hỏi cho HS:

• Vectơ   bằng vectơ nào?
• Góc   bằng bao nhiêu?
• Góc   bằng bao nhiêu?

+ GV yêu cầu 2 HS đứng tại chỗ nêu lại các làm.

+ GV nhận xét, chốt đáp án.

- GV cho HS làm cá nhân Luyện tập 10.

…………………………………………..

…………………………………………..

…………………………………………..

4. Tích vô hướng của hai vectơ

a) Góc giữa hai vectơ trong không gian

•  
• HĐ7
• a) Ta có:   và   nên  .
• b) Ta có:
• và .
• Vì và nên . 
• Suy ra  .

Ghi nhớ

• Trong không gian, cho và khác . Lấy một điểm bất kì, gọi và là hai điểm sao cho . Khi đó, ta gọi () được gọi là góc giữa hai vectơ và , kí hiệu .

Nhận xét: 

• Nếu thì ta nói và vuông góc với nhau, kí hiệu .

Chú ý:

- Để xác định gócgi ữa hai vectơ   và   trong không gian ta có thể lấy điểm sao cho  , khi đó .

- Quy ước góc giữa một vectơ bất kì và có thể nhận giá trị tùy ý từ đên .

Ví dụ 9: SGK – tr.56

Hướng dẫn giải: SGK – tr.56

Luyện tập 9

a) Ta có: .

b) Ta có:

.

b) Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

HĐ8

Tích vô hướng của hai vectơ và là một số, kí hiệu là , được xác định bởi công thức sau:

Ghi nhớ

Trong không gian, cho hai vectơ và khác .Tích vô hướng của hai vectơ và là một số, kí hiệu , được xác định bởi công thức:

Chú ý:

• Quy ước nếu hoặc thì .
• Cho hai vectơ đều khác . Khi đó: .
• Với mọi vectơ , ta có .
• Nếu là hai vectơ khác thì 

.

Ví dụ 10: SGK – tr.56+57

Hướng dẫn giải: SGK – tr.56+57

Luyện tập 10

…………………………………………..

…………………………………………..

…………………………………………..