Giáo án dạy thêm Toán 12 kết nối Bài 6: Vectơ trong không gian

HOẠT ĐỘNG CỦA GV- HS

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập.

GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Vectơ và các phép toán trong không gian” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

• Nhắc lại khái niệm vectơ trong không gian.

• Nêu các quy tắc tổng, hiệu của hai vectơ, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp.

• Nhắc lại công thức tính tích của một số với một vectơ trong không gian.

• Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ là gì? Công thức tính góc giữa hai vectơ trong không gian?

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập.

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận.

- Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập.

- GV đưa ra nhận xét, đánh giá chuẩn kiến thức.

1. Vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Chú ý: 

• Vectơ có điểm đầu là  và điểm cuối là  được kí hiệu là .

• Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là

• Độ dài của vectơ  được kí hiệu là , độ dài của vectơ   được kí hiệu là .

• Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều  có cạnh đáy bằng 1 và cạnh bên bằng .

a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là  và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của hình chóp?

b) Trong các vectơ đó, có những vectơ nào nằm trong mặt phẳng đáy.

c) Tính độ dài của các vectơ tìm được ở câu a.

a) Có bốn vectơ là: .

b) Trong các vectơ trên các vec tơ có giá nằm trong mặt phẳng đáy là: .

c) Vì hình chóp có các cạnh đáy bằng 1 nên .

Vì cạnh bên của hình chóp có độ dài bằng nên .

Vì  là hình vuông nên

Vậy .

• Tương tụ như trường hợp của vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian:

• Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

• Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

• Hai vectơ  và  được gọi là bằng nhau, kí hiệu , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian:

• Trong không gian, với mỗi điểm  và vectơ  cho trước, có duy nhất điểm  sao cho .

• Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như  gọi là các vectơ-không.

• Ta quy ước vectơ – không có độ dài là 0, cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là .

Ví dụ 2: Cho hình lập phương .

a) Vectơ nào cùng hướng với ?

b) Vectơ nào ngược hướng với vectơ ?

c) Vectơ nào bằng với vectơ ?

Đáp án:

a) Vectơ cùng hướng với vectơ là , , .

b) Vectơ ngược hướng với vectơ là  , , .

c) Vectơ bằng với vectơ là  .

2. Tổng và hiệu của hai vectơ

a) Tổng của hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ . Lấy điểm  bất kì và các điểm  sao cho , . Khi đó vectơ  được gọi là tổng của hai vectơ  và , kí hiệu .

Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

Nhận xét: Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng vẫn đúng trong không gian:

• Nếu  là ba điểm bất kì thì

• Nếu  là hình bình hành thì

Ví dụ: Cho hình lăng trụ Tìm các vectơ tổng  .

Ta có:

Chú ý: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng.

- Tính chất giao hoán: ;

- Tính chất kết hợp: ;

- Với mọi vectơ , ta luôn có: .

Quy tắc hình hộp

Cho hình hộp . Ta có:

Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật  Tìm vectơ ?

Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có:

b) Hiệu của hai vectơ

Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ  được gọi là vectơ đối của vectơ , kí hiệu là .

Chú ý: 

• Hai vectơ là đối nhau nếu và chỉ nếu tổng của chúng bằng  .

• Vectơ  là một vectơ đối của vectơ .

• Vectơ  được coi là vectơ đối của chính nó.

Định nghĩa:

Vectơ  được gọi là hiệu của hai vectơ và  và kí hiệu là . Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

Nhận xét: Với ba điểm  bất kì trong không gian, ta có:

Ví dụ: Cho hình chóp  có đáy là hình bình hành. Tìm vectơ hiệu

Do  là hình bình hành nên ta có:

Khi đó:

3. Tích của một số với một vectơ

Trong không gian, tích của một số thực  và một vectơ  là một vectơ, kí hiệu là , được xác định như sau:

- Cùng hướng với vectơ  nếu , ngược hướng với  nếu  

- Có độ dài bằng .

Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ.

Quy ước: 

• Nếu   thì  hoặc .

• Trong không gian, điều kiện cần và đủ đẻ hai vectơ  và  cùng phương là có một số thực  sao cho .

Ví dụ: Cho hình lăng trụ . Đặt . Gọi  là trọng tâm của tam giác . Chứng minh:

.

Đáp án:

Gọi  là trung điểm của .

Vì  là trọng tâm của tam giác .

Ta có:

4. Tích vô hướng của hai vectơ

Góc giữa hai vectơ trong không gian

• Trong không gian, cho   và  khác . Lấy một điểm  bất kì, gọi  và  là hai điểm sao cho . Khi đó, ta gọi  () được gọi là góc giữa hai vectơ  và , kí hiệu .

Nhận xét: 

• Nếu   thì ta nói  và  vuông góc với nhau, kí hiệu .

Tích vô hương của hai vectơ trong không gian

Trong không gian, cho hai vectơ  và  khác .

Tích vô hướng của hai vectơ  và  là một số, kí hiệu , được xác định bởi công thức

Quy ước:

• Nếu   hoặc  thì .

• Cho hai vectơ  đều khác . Khi đó: .

• Với mọi vectơ , ta có .

• Nếu  là hai vectơ khác  thì 

.

Ví dụ: Cho tứ diện  có các cạnh ,  đôi một vuông góc và . Gọi  là trung điểm của cạnh . Tính góc giữa hai vectơ và .

Đáp án:

Ta có:

Mặt khác:

Vì  đôi một vuông góc và  nên  và . 

Do đó: . 

Vậy .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Xác định các yếu tố của vectơ

Phương pháp giải:

+ Dựa vào định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

• Kí hiệu  chỉ vectơ có điểm đầu , điểm cuối .

• Nếu không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối thì vectơ còn được kí hiệu là

+ Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

+ Hai vectơ  và  được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Kí hiệu: .

Bài 1. Cho hình hộp . Hãy kể tên các vectơ (khác ) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và:

a) Cùng phương với ;                                     b) Cùng phương .

Bài 2: Cho hình lăng trụ , chỉ ra các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lăng trụ: 

a) Bằng vectơ .

b) Bằng vectơ .

c) Bằng vectơ .

Bài 3: Cho hình lập phương . Gọi  lần lượt là các giao điểm của hai đường chéo của hai đáy. Hãy xác định các vectơ (khác ) có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương  sao cho:

a) bằng .                                                         b) bằng

DẠNG 1:

Bài 1:

a) Các vectơ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình hộp cùng phương với  là: .

b) Các vectơ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình hộp cùng phương với  là: .

Bài 2:

Áp dụng tính chất của hình lăng trụ, ta sẽ có:

Bài 3:

a) Ta có: .

b) Ta có: .