Giáo án ôn tập toán 7 cánh diều Chương 7 Bài 13: tính chất ba đường cao của tam giác

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

*Chuyển giao nhiệm vụ

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Tính chất ba đường cao của tam giác” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

* Thực hiện nhiệm vụ:

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

* Báo cáo kết quả: đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

* Nhận xét đánh giá: GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Đường cao của tam giác

Đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh của một tamm giác đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.

2. Tính chất ba đường cao của tam giác

Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm.

Chú ý:

- Ta còn nói ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Điểm H được gọi là trực tâm của tam giác ABC.

- Tam giác nhọn có trực tâm nằm bên trong tam giác.(H5.a)

- Tam giác vuông có trực tâm trùng với đỉnh góc vuông. (H.5b)

- Tam giác tù có trực tâm nằm ngoài tam giác. (H.5c)

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Xác định trực tâm của tam giác. Sự đồng quy của ba đường cao.

Phương pháp giải: Trực tâm của tam giác là giao của hai đường cao của tam giác.

Bài 1. Xem hình vẽ bên có thể khănng định rằng: các đường thẳng  và  cùng đi qua một điểm không? Vì sao?

Bài 2. Cho tam giác  vuông cân tại . Trên cạnh  lấy điểm . Trên tia đối của tia  lấy điểm  sao cho . Chứng minh rằng:
a) ;
b) .

Bài 3. Cho tam giác  vuông tại , đường cao . Gọi  là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng  là giao điểm ba đường trung trực của .
b) Gọi  là trung điểm của , qua  kẻ đường thẳng song song với , cắt  ở . Chứng minh rằng .
c) Trong hình vẽ trên thì  là trực tâm của những tam giác nào?

Bài 4. Cho tam giác  có  là trực tâm. Biết rằng , hãy tính số đo của góc .

Bài 5. Cho tam giác , đường cao . Lấy  nằm khác phía với  đối với  sao cho  và  vuông góc BA. Lấy  nằm khác phía với  đối với  sao cho  và  vuông góc . Chứng minh rằng các đường thẳng ,  đồng quy.

DẠNG 1:

Bài 1. Ta có  (gt),  và  là ba đường cao của  vì vậy chúng gặp nhau tại một điểm.

Bài 2. a)  vuông cân tại , nên .
 có .
Vậy  vuông cân tại , suy ra .
Xét  có  (chứng minh trên) nên  suy ra .
Vậy .
b)  có  (gt);  (chứng minh a).
Vậy  là trực tâm của , suy ra  là đường cao thứ ba của tam giác , vậy .

Bài 3. a) Dễ dàng chứng minh được .
Vậy I là giao điểm ba đường trung trực của .
b) Ta đã biết  (giả thiết) nên .
 có , do đó  là trực tâm của , suy ra .
c) Hiển nhiên  là trực tâm của .
Xét  có  thuộc đường cao ;  thuộc đường cao qua đỉnh .
Vậy  là trực tâm của .

Bài 4.

Ta thấy , vì trái lại thì  : vô lí.
Trương hợp 1:  (hình a).
Xét hai tam giác vuông  và , có:

Do vậy  (cạnh huyền - góc nhọn)
 (hai cạnh tương ứng)
 vuông cân tại .
Vậy .
Trương hợp 2:  (hình b).
Chứng minh tương tự trường hợp 1 ta được  và từ đó suy ra: , .
Vì  là trực tâm  nên .
 vuông tại  có  nên , suy ra .

Bài 5. Trên tia đối của tia  lấy điểm  sao cho .
Dễ dàng chứng minh được  và  (c. g. c), suy ra  và .
Ta có  và  là ba đường cao của , vì vậy chúng đồng quy.
 

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

*Chuyển giao nhiệm vụ

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

* Thực hiện nhiệm vụ:

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

* Báo cáo kết quả: đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

* Nhận xét đánh giá: GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Đường trung trực của tam giác

Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác đó.

2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Tính chất đường trung trực. Sự đồng quy của ba đường trung trực.

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng và sự đồng quy của ba đường trung trực.

Bài 1. Cho tam giác  có góc  tù, các đường trung trực của  và  cắt nhau tại  và cắt  theo thứ tự  và .

a) Chứng minh  cân.

b) Chứng minh rằng  là tia phân giác của góc .

Bài 2. Cho tam giác  cân tại  có . Đường trung trực của  cắt đường thẳng  tại . Trên tia đối của tia  lấy điểm  sao cho . Tính các góc của tam giác .

Bài 3. Cho góc  nằm trong góc , lấy các điểm  và  sao cho  là đường trung trực của  là đường trung trực của MP. Tính các góc của tam giác ONP.

Bài 4. Cho tam giác  vuông tại . Qua  kẻ đường thẳng  tạo với  một góc  (góc  nằm ngoài  ). Từ  và  kẻ  là trung điểm của cạnh huyền . Chứng minh rằng:

a)  và  là đường trung trực của đoạn thẳng  và .
b)

Bài 5. Cho tam giác , AI là tia phân giác góc A (I thuộc BC) . Trên đoạn thẳng IC lấy điểm . Từ  kẻ đường thẳng song song với  cắt  kéo dài tại  và cắt  tại . Chứng minh rằng:

a) Đường trung trực của đoạn thẳng  đi qua .

b) Đường trung trực của đoạn thẳng  vuông góc với .

c) Khi  di động trên tia  của  cố định thì đường trung trực của  cố định.

DẠNG 1:

Bài 1.

a) D thuộc trung trực của  nên  hay  cân Chứng minh tương tự ta cũng có  hay  cân.

b) 0 thuộc trung trực của

Tương tự  thuộc trung trực của

Từ (1) và  cân tại

Lại có  (c.c.c)

tương tự

Từ (3) (4) (5)  hay  là tia phân giác của góc DAE.

Bài 2.

 cân tại  có

Gọi  là giao điểm của đường trung trực đoạn  với . Ta có D thuộc đường trung trực của AB nên tam giác ABD cân tại D.

Xét  có

Mặt khác  (kề bù)

Ta có  (c.g.c)

.

Bài 3.

 thuộc trung trực của

nên

Tương tự  thuộc trung trực của

nên

Từ (1)  hay  cân tại

Dễ thấy  (c.c.c)

 tương tự ta có

mà

 NOP cân tại .

Bài 4.

a)  nằm trên đường trung trực của .

 vuông tại  và  nên  vuông cân

 nằm trên đường trung trực của . Vậy  là đường trung trực của .

Tương tự,  là trung trực của .

b)  (cùng vuông góc với  ) .

 (cùng vuông góc với  ) , mà .

Vậy: .

Bài 5.

Chứng minh tam giác  cân  nằm trên đường trung trực của .

b)  cân nên  vừa là trung trực của  vừa là phân giác của , mà  và  kề bù nhau nên .

c)  cố định nên  cố định. AK  AI nên  cố định.

 chuyển động trên IC thì  luôn luôn cân tại  nên đường trung trực của  luôn đi qua  và vuông góc với . Vậy đường trung trực của  cố định.