Bài tập file word toán 7 cánh diều Chương 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

BÀI 13: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC

(19 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Xem hình vẽ bên có thể khẳng định rằng: các đường thẳng BA,CI và KE cùng đi qua một điểm không? Vì sao?

Đáp án:

Ta có  (gt),

 và  là ba đường cao của  vì vậy chúng gặp nhau tại một điểm.

Bài 2: Cho  vuông tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh rằng  là giao điểm ba đường trung trực của .

Đáp án:

Xét  vuông tại H có trung tuyến IH ứng với cạnh huyền AC (I là trung điểm của AC)

 là giao điểm ba đường trung trực của

Bài 3: Chứng minh rằng tam giác có đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau là một tam giác cân.

Đáp án:

Xét  và  có  ) AH: cạnh chung

Do đó  (hai cạnh góc vuông)

 (cạnh tương ứng)

Hay  cân tại .

Bài 4: Trong hình vẽ trên thì  là trực tâm của những tam giác nào?

Đáp án:

 là trực tâm của .

Xét  có  thuộc đường cao ;  thuộc đường cao qua đỉnh .

Vậy  là trực tâm của .

Bài 5: Cho tam giác  cân tại A có AM là đường trung tuyến. Chứng minh AM là đường cao của tam giác ABC

Đáp án:

Vì tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao, đường trung trực và đường phân giác của tam giác ABC

Bài 6: Cho tam giác  có là đường phân giác đồng thời là đường cao. Khi đó, tam giác ABC là tam giác gì?

Đáp án:

Vì tam giác ABC có AM là đường phân giác đồng thời là đường cao nên tam giác ABC là tam giác cân.

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác  vuông cân tại . Trên cạnh  lấy điểm . Trên tia đối của tia  lấy điểm  sao cho . Chứng minh rằng:
a)  

1. b) .

Đáp án:

1. a) vuông cân tại , nên .

 có .

Vậy  vuông cân tại , suy ra .

Xét  có  (chứng minh trên) nên  suy ra .

Vậy .

1. b) có (gt);  (chứng minh a).

Vậy  là trực tâm của , suy ra  là đường cao thứ ba của tam giác ,

vậy .

Bài 2: Chứng minh rằng tam giác có đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau là một tam giác cân.

Đáp án:

Xét  và  có  ) AH: cạnh chung

Do đó  (hai cạnh góc vuông)

 (cạnh tương ứng)

Hay  cân tại .

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Biết BC = 24 cm, AM = 5cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC.

Đáp án:

Vì ΔABC cân tại A(gt) mà AM là trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác đó

Vì AM là trung tuyến của ΔABC nên M là trung điểm của BC

 cm

Xét ΔAMB vuông tại M ta có:

Vậy

Bài 4: Cho ΔABC cân tại A, trung tuyến AM. Biết BC = 6cm, AM = 4cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC

Đáp án:

Vì ΔABC cân tại A(gt) mà AM là trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác đó

Vì AM là trung tuyến của ΔABC nên M là trung điểm của BC

 cm

Xét ΔAMB vuông tại M ta có:

Vậy

Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AH và BK cắt nhau tại D. Có DA = BD, chứng minh tam giác ABC là tam giác cân tại C.

Đáp án:

Nếu DA = DB thì tam giác DAB cân tại D

 (1)

Xét tam giác vuông AHB có

Xét tam giác vuông ABK có

Từ 1, 2 và 3  hay

 tam giác ABC cân tại C

Bài 6: Tính bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh a

Đáp án:

Xét tam giác ABC đều có AM là đường trung tuyến

 cũng là đường cao của tam giác ABC hay AM tại M

Ta cí MB = MC =

Xét tam giác AMC vuông tại M, ta có:

 Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh a là

3. VẬN DỤNG (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác  vuông cân tại , lấy điểm  thuộc cạnh . Trên tia đối của tia  lấy điểm  sao cho . Chứng minh rằng:

1. a) DE vuông góc với
2. b) BE vuông góc với DC.

Đáp án:

1. a) Tam giác có và  nên tam giác DAE vuông cân tại .

 (đối đỉnh)

Lại có

(vì  vuông cân tại  )

Gọi  là giao điểm của  và

 có  hay

1. b) Xét tam giác có

 (cmt) mà  cắt  tại  nên  là trực tâm của tam giác  là đường cao thứ ba của tam giác  nên  vuông góc với DC.

Bài 2: Cho đoạn thẳng AB có điểm M nằm giữa A và B (MA <MB). Vẽ tia Mx  AB, trên đó lấy hai điểm C và D sao cho MA = MC, MD = MB. Tia AC cắt BD ở E. Tính số đo  

Đáp án:

Vì Mx  AB

Xét  có

 (cmt)

MA = MC (gt)

 (tính chất tam giác vuông cân)

 (đối đỉnh)

Xét  có

 (cmt)

MB = MD (gt)

 (tính chất tam giác vuông cân)

Xét  có:

Lại có:  +  (kề bù)

Bài 3: Cho tam giác  có . Trên đường phân giác  (D thuộc BC) của góc  lấy điểm I. Trên tia đối của tia  lấy điểm  sao cho . Trên tia đối của tia  lấy  sao cho . Chứng minh:

1. a) và lần lượt là các đường trung trực của  và IF;
2. b) IEF là tam giác đều;
3. c) .

Đáp án:

1. a) Do nên suy ra .

Mà  là phân giác của  nên: .

 cân  mà A  là phân giác của góc EFI nên  là trung trực của EI (xét hai tam giác bằng nhau).

Tương tự,  là trung trực của IF.

1. b) E nằm trên trung trực của nên .

 nằm trên trung trực của  nên . Vậy  đều.

1. c) Trong có ; , suy ra là trực tâm nên .

Bài 4: Cho tam giác . Qua  kẻ đường thẳng . Qua  kẻ đường thẳng . Qua  kẻ đường thẳng . Ba đường thẳng này cắt nhau tại ba điểm  và . Chứng minh rằng:

1. a) Các cạnh chia thành 4 tam giác bằng nhau;
2. b) Các đường cao của là các đường trung trực của .

Đáp án:

1. a) Ta chứng minh (g.c.g)

.

Tương tự ta chứng minh được .

.

, suy ra .

Vậy .

1. b) Từ (1) và suy ra (cùng bằng  ). Ta lại có  nên . Suy ra  là đường trung trực của .

Tương tự,  là đường trung trực của  là đường trung trực của . Vậy ba đường cao  và  của  là ba đường trung trực của .

Bài 5: Cho tam giác  có góc  tù. Trên cạnh  lấy điêm  sao cho  và lấy điểm  sao cho . Đường phân giác của  cắt  tại . Đường phân giác của  cắt  tại .

Chứng minh rằng đường phân giác của góc  vuông góc với .

Đáp án:

Góc  tù nên  và . Vậy  và  nằm giữa  và .

 nên  cân tại  là phân giác của góc ABN, ta chứng minh được BE cũng là đường cao kẻ từ đỉnh B (Xét hai tam giác bằng nhau).

Vậy . Tương tự, .

Ta có ; . Gọi  là giao điểm của  và  thì  là trực tâm của , nên  phải vuông góc với .

 cũng chính là phân giác của góc  vì ,  là các phân giác của tam giác .

Bài 6: Cho tam giác , đường cao . Lấy  nằm khác phía với  đối với  sao cho  và  vuông góc BA. Lấy  nằm khác phía với  đối với  sao cho  và  vuông góc . Chứng minh rằng các đường thẳng ,  đồng quy.

Đáp án:

Trên tia đối của tia  lấy điểm  sao cho .

Dễ dàng chứng minh được  và  (c. g. c), suy ra  và .

Ta có  và  là ba đường cao của , vì vậy chúng đồng quy.

4. VẬN DỤNG CAO (1 câu)

Bài 1: Cho tam giác  có  là trực tâm. Biết rằng , hãy tính số đo của góc .

Đáp án:

Ta thấy , vì trái lại thì  : vô lí.Trường hợp 1:  (hình a).
Xét hai tam giác vuông  và , có:

   (ch - gn)

 (hai cạnh tương ứng)

 vuông cân tại .

Vậy .

Trương hợp 2:  (hình b).

Chứng minh tương tự trường hợp 1 ta được  và từ đó suy ra: , .

Vì  là trực tâm  nên .

 vuông tại  có  nên , suy ra .