Giáo án và PPT Toán 7 cánh diều Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

BÀI 13: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên các đường thẳng BC, CA, AB (Hình 132).

Em có nhận xét gì về ba đường thẳng AM, BN, CP?

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

Hoạt động 1: Đường cao của tam giác

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ1: thực hiện vẽ hình chiếu M của điểm A trên BC.

- GV đặt câu hỏi: Đường cao của tam giác là gì?

- HS thực hiện Ví dụ 1, Ví dụ 2, LT1.

- GV đặt câu hỏi:

+ Một tam giác có bao nhiêu đường cao?

+ Cho tam giác ABC có AM là đường cao của tam giác, thì vị trí của M có thể xảy ra những trường hợp nào?

Sản phẩm dự kiến:

HĐ1:

Kết luận:

Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là một đường cao của tam giác đó.

Ví dụ:

AM là đường cao của tam giác ABC.

Ví dụ 1 (SGK -tr116)

- Đoạn thẳng AH, DN không là đường cao của tam giác ABC.

- Đoạn thẳng BK là đường cao của tam giác ABC.

Ví dụ 2 (SGK -tr116)

LT1:

Đường cao đi qua B và vuông góc với AC là AB.

Đường cao đi qua C và vuông góc với AB là AC.

Nhận xét:

- Mỗi tam giác có ba đường cao.

- Đường cao của tam giác có thể nằm trong, trên cạnh, hoặc nằm ngoài tam giác.

Hoạt động 2: Tính chất ba đường cao của tam giác

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ2: quan sát và nhận xét ba đường cao có cùng đi qua một điểm không.

- GV đặt câu hỏi: Nêu định lí về 3 đường cao của tam giác đồng quy. Làm thế nào để xác định trực tâm?

 HS thực hiện Ví dụ 3.

- HS thực hiện LT2.

- HS thực hiện Ví dụ 4.

- HS thực hiện LT3.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ2:

Ba đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm H.

Định lí:

Trong một tam giác, ba đường cao cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác.

Nhận xét:

Để xác định giao điểm ba đường trung trực của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung trực bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

Ví dụ 3 (SGK -tr117)

LT2:

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AC và AB.

Do tam giác ABC đều nên AB = BC = CA và 

.

Do M là trung điểm của AC nên AM = CM.

Xét ∆BAM và ∆BCM có:

BA = BC (chứng minh trên).

AM = CM (chứng minh trên).

Do đó ∆BAM = ∆BCM (c - g - c).

Suy ra (2 góc tương ứng).

Mà nên

Do đó BM là đường cao của tam giác ABC.

Tương tự CN là đường cao của tam giác ABC.

Tam giác ABC có hai đường cao BM và CN cắt nhau tại G nên G là trực tâm của tam giác ABC.

Ví dụ 4 (SGK -tr118)

LT3:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB.

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB, BH ⊥ AC hay CN ⊥ AB, BM ⊥ AC.

Lại có H là trọng tâm của tam giác ABC nên BM, CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Khi đó BM vuông góc với AC tại trung điểm M của AC nên BM là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Do đó BA = BC (1).

Do CN vuông góc với AB tại trung điểm N của AB nên CN là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó CA = CB (2).

Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Từ nội dung bài học, GV yêu cầu HS hoàn thành các bài tập trắc nghiệm sau:

Câu 1: Cho ∆ABC có ba góc nhọn (AB < AC), đường cao AH. Lấy D là điểm thuộc đoạn HC, vẽ DE ⊥ AC (E ∈ AC). Gọi K là giao điểm của AH và DE. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AD // KC;

B. AD trùng KC;

C. AD cắt KC nhưng không vuông góc với KC;

D. AD ⊥ KC.

Câu 2. Cho ∆MNO, hai đường cao NF và ME cắt nhau tại H. Phát biểu đúng là

A. OH là đường phân giác của ∆MNO;

B. OH là đường trung trực của cạnh MN;

C. OH là đường trung tuyến của ∆MNO;

D. OH là đường cao của ∆MNO.

Câu 3: Trong một tam giác, trực tâm là giao điểm của ba đường nào?

A. Đường phân giác;

B. Đường trung tuyến;

C. Đường trung trực;

D. Đường cao.

Câu 4: Cho ∆ABC cân tại A có M là trung điểm BC, đường cao CN cắt AM tại H. Một tính chất của cặp đường thẳng BH và AC là:

A. BH // AC;

B. BH trùng AC;

C. BH cắt AC nhưng không vuông góc với AC;

D. BH ⊥ AC.

Câu 5: Cho ∆ABC có BD và CE lần lượt là các đường cao hạ từ B, C và BD = CE. Gọi H là giao điểm của BD và CE. Khẳng định nào sau đây sai?

A. ∆ABC cân tại A;

B. ∆ABC cân tại B;

C. H là trực tâm của ∆ABC;

D. AH là đường phân giác của ∆ABC.

Sản phẩm dự kiến:

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn (AB < AC), đường cao AH. Lấy D là điểm thuộc đoạn HC, vẽ DE ⊥ AC (E ∈ AC). Gọi K là giao điểm của AH và DE. Chứng minh AD ⊥ KC.

Câu 2: Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M bất kì (M ≠ A, C). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại N; từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BM tại P. Chứng minh ba đường thẳng AB, CP, MN cùng đi qua một điểm.