Nội dung chính Toán 11 cánh diều Chương 7 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Hệ thống kiến thức trọng tâm Chương 7 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm sách Toán 11 Cánh diều. Với các ý rõ ràng, nội dung mạch lạc, đi thẳng vào vấn đề hi vọng người đọc sẽ nắm trọn kiến thức trong thời gian rất ngắn. Nội dung chính được tóm tắt ngắn gọn sẽ giúp thầy cô ôn tập củng cố kiến thức cho học sinh. Bộ tài liệu có file tải về. Mời thầy cô kéo xuống tham khảo
BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM (3 TIẾT)I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
- Một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
- a) Bài toán tìm vận tốc tức thời
Phương trình chuyển động của viên bi là
+ Tại thời điểm vật ở vị trí
; tại thời điểm vật ở vị trí
+ Quãng đường vật đi được: . Vận tốc trung bình của vật là
+ Nếu càng nhỏ thì tỉ số trên càng phản ánh rõ sự nhanh hay chậm của viên bi tại thời điểm đó.
- b) Bài toán tìm cường độ tức thời
Điện lượng truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian
+ Cường độ trung bình của dòng điện:
+ Nếu càng nhỏ thì tỉ số trên càng biểu thị chính xác cường độ dòng diện tại thời điểm .
- Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
HĐ1
Định nghĩa:
Cho hàm số xác định trên khoảng và điểm
Nếu tồn tại giới hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số ) tại và được kí hiệu hoặc .
Nhận xét: Trong định nghĩa trên, ta đặt:
và gọi là số gia của biến số tại điểm .
và gọi là số gia của hàm số ứng với số gia tại điểm .
Khi đó, ta có: .
- Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Cho hàm số xác định trên khoảng và điểm
Để tính đạo hàm của hàm số tại , ta lần lượt thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xét là số gia của biến số tại điểm . Tính .
Bước 2: Rút gọn tỉ số .
Bước 3: Tính .
Kết luận: Nếu thì .
Ví dụ 1: (SGK – tr.61)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.61)
Luyện tập 1
Xét là số gia của biến số tại điểm .
Ta có:
Suy ra:
Ta thấy,
Vậy .
Ví dụ 2: (SGK – tr.61)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.62)
Nhận xét: Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng . Ta nói hàm số có đạo hàm trên khoảng . Một cách tổng quát: Hàm số được gọi là có đạo hàm trên khoảng nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó.
Luyện tập 2
Xét là số gia của biến số tại điểm .
Ta có:
Suy ra:
Ta thấy:
Vậy .
- Ý nghĩa vật lý của đạo hàm
+ VD: vận tốc tức thời của viên đạn, vận tốc của một vận động viên,…
Đạo hàm xuất hiện trong nhiều khái niệm vật lí. Chẳng hạn: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình , với là một hàm số có đạo hàm. Như đã thấy trong bài toán mở đầu, vận tốc tức
thời của chuyển động tại thời điểm là đạo hàm của hàm số tại : .
II. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM
HĐ2
- a)
- b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
Công thức
- Đạo hàm của hàm số tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm .
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là y = .
Ví dụ 3: (SGK – tr.63)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.63)
Luyện tập 3
- a) Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc là:
b)Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm N(1; 1) là:
hay