Nội dung chính Toán 11 chân trời Chương 7 Bài 1: Đạo hàm
Hệ thống kiến thức trọng tâm Chương 7 Bài 1: Đạo hàm sách Toán 11 chân trời sáng tạo. Với các ý rõ ràng, nội dung mạch lạc, đi thẳng vào vấn đề hi vọng người đọc sẽ nắm trọn kiến thức trong thời gian rất ngắn. Nội dung chính được tóm tắt ngắn gọn sẽ giúp thầy cô ôn tập củng cố kiến thức cho học sinh. Bộ tài liệu có file tải về. Mời thầy cô kéo xuống tham khảo
BÀI 1. ĐẠO HÀM (3 TIẾT)I. ĐẠO HÀM
HĐKP 1:
Quãng đường rơi tự do của vật biểu diễn bởi công thức:
- a) Kết quả:
Khoảng thời gian | [5;6] | [5; 5,1] | [5; 5,05] | [5; 5,01] | [5; 5,001] | [4,999; 5] | [4,99; 5] |
53,9 | 49,49 | 49,245 | 49,049 | 48,9951 | 48,9951 | 48,951 |
Khi càng gần thì giá trị của càng gần về .
- b) Tại , ta có:
.
- c) .
Định nghĩa
Cho hàm số xác định trên khoảng và .
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
Thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại , kí hiệu là hoặc .
Vậy: .
Ví dụ 1 (SGK – tr.38)
Chú ý
Cho hàm số xác định trên khoảng . Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng , kí hiệu hoặc .
Ví dụ 2 (SGK – tr.38)
Thực hành 1
Với bất kì ta có:
Vậy .
Chú ý
Cho hàm số xác định trên khoảng , có đạo hàm tại .
- a) Đại lượng gọi là số gia của biến tại . Đại lượng gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó, và
- b) Tỉ số biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng từ đến ; còn biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng tại thời điểm .
Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
- Nếu hàm số biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian thì biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm .
- Nếu hàm số biểu thị nhiệt độ theo thời gian thì biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm .
Vận dụng 2
Vậy tại thời điểm vận tốc tức thời của chuyển động là
II. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM
HĐKP 2:
- a)
Ta có:
- b) Ta có:đi qa và có hệ số góc bằng nên:
Ta có hình vẽ sau:
Nhận xét: Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại duy nhất một điểm .
Trong mặt phẳng tọa độ , cho đồ thị của hàm số và điểm thuộc . Xét là một điểm di chuyển trên .
- Hệ số góc của cát tuyến được tính bởi công thức
- Khi cho dần tới thì di chuyển trên tới .
- Giả sử cát tuyến có vị trí giới hạn là thì được gọi là tuyến tuyến của
tại và được gọi là tiếp điểm.
- Hệ số góc của tiếp tuyến là:
Phương trình tiếp tuyến
Cho hàm số xác định trên khoảng và có đạo hàm tại . Gọi là đồ thị của hàm số đó.
Đạo hàm của hàm số tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của tại điểm
Tiếp tuyến có phương trình là
Ví dụ 3 (SGK – tr.40)
HĐTH 2
Ta có:
.
Phương trình tiếp tuyến của tại điểm là:
.
III. SỐ
HĐKP 3:
- a) Nếu người gửi với kì hạn một năm số tiền lãi sau một năm là A.r.
Tổng số tiền vốn và lãi sau một năm của người gửi là:
- b) Nếu người gửi với kì hạn một tháng thì số tiền lãi sau tháng thứ nhất là: .
Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ nhất là:
- Số tiền lãi sau than thứ hai là: .
Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ hai là:
Tương tự, tổng số tiền vốn và lãi sau 1 năm là:
.
Tiền lãi và vốn tính theo kì hạn tương ứng là: ;
;
;...
Tổng quát, nếu một năm được chia thành kì hạn thì
(với .
Khi kì hạn càng ngắn thì càng lớn, do đói càng lớn. Người ta chứng minh được rằng có giới hạn hữu hạn
(với là số vô tỉ và
Khi kì hạn trở nên rất ngắn (m dần đến ) thì dần đến , và do đó dần đến .
Ví dụ 4 (SGK – tr.41)
Thực hành 3
- a) Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 1 ngày là:
(đồng).
- b) Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 30 ngày là:
(đồng).