BÀI 3. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC (3 TIẾT)

I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

HĐKP 1:

1. a) Có thể xác định góc giữa hai cánh cửa nắp hầm bằng cách đo góc giữa hai cây chống vuông góc với hai cánh cửa nắp hầm.
   b) Thiết bị có thể đo được góc giữa hai dây dọi vuông góc với mặt nghiêng và mặt đất .

Định nghĩa:

Góc giữa hai mặt phẳng  và  là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với  và , kí hiệu .

Ta có:  với

Nhận xét:

Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.

Cho

với

Ví dụ 1 (SGK -tr.66)

II. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

HĐKP 2

Định nghĩa

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là một góc vuông. Hai mặt phẳng  và  vuông góc được kí hiệu là .

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

HĐKP 3:

1. a) Vì MH⊥(P)nên MH⊥OH; MK⊥(Q)nên MK⊥OK

Mà  (P)⊥(Q) nên HM⊥MK

Suy ra MHOK là hình chữ nhật.

Trong (P) có 

1. b) nên nên 

Suy ra .

Mà 

Nên MHOK là hình chữ nhật

Góc giữa (P) và (Q) là 

Định lí 1:

Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Ví dụ 2 (SGK -tr.67)

Thực hành 1

Gọi  là tâm hình vuông.
a) Ta có  và , suy ra
, suy ra .

Vận dụng 1

Đặt hai cái êke không trùng nhau sao cho mỗi eke có một cạnh nằm trên sàn và một cạnh trùng với đường thẳng d trên tường.

III. TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

HĐKP 4:

1. a) Vì 
2. b) Vì 

Ta có: .

Định lí 2:

Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Ví dụ 3 (SGK -tr.68)

HĐKP 5

1. a) Vì nên

Tương tự

1. b) Vì nên 

 nên 

Suy ra 

Định lí 3 (SGK -tr.68)

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

Ví dụ 4 (SGK -tr.68)

Thực hành 2

1. a) Ta có và , suy ra , suy ra .
   Ta có và , suy ra , suy ra .
   b) Ta có  là giao tuyến của  và , suy ra .
   Vận dụng 2

Đặt quyển sách sao cho đường thẳng gáy sách a vuông góc với mặt bàn.

IV. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG

HĐKP 6:

1. a) Mặt bên là các hình chữ nhật;
2. b) Mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau;
3. c) Bốn mặt bên đều là hình chữ nhật;
4. d) Cả sáu mặt đều là hình chữ nhật.

Định nghĩa

Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có mặt đáy là đa giác đều.

Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có mặt đáy là hình chữ nhật.

Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

*) Tính chất cơ bản

(Bảng dưới)

Ví dụ 5 (SGK -tr.71)

Chú ý:

Lăng trụ đều có đáy tứ giác thường được gọi là lăng trụ tứ giác đều.

Tương tự, có lăng trụ tam giác đều, lăng trụ lục giác đều,...

Thực hành 3

Vận dụng 3

Tổng diện tích các mặt bên của lồng đèn đó: 

V. HÌNH CHÓP ĐỀU. HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU

*) Hình chóp đều

HĐKP 7:

Ta có  và  (do các tam giác SAC và SBD cân tại S, mà O là trung điểm của AC và BD).

suy ra .

Định nghĩa

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

Chú ý: Hình chóp đều có

1. a) Các mặt bên là các tam giác cân tại đỉnh hình chóp và bằng nhau.
2. b) Đoạn thẳng nối từ đỉnh hình chóp đến tâm của đáy thì vuông góc với mặt đáy và gọi là đường cao của hình chóp.
3. c) Độ dài đường cao gọi là chiều cao của hình chóp đều.

Ví dụ 6 (SGK -tr.72)

Thực hành 4

 vuông tại , suy ra

 vuông tại , suy ra

Vận dụng 4

Mô hình hóa hình ảnh kim tự tháp bằng hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của đáy.

Gọi I là trung điểm của CD  (vì tam giác SCD cân tại S).

+ Ta có:

Xét tam giác SOI vuông tại O

*) Hình chóp cụt đều

HĐKP 8
a) Ta có:

Mà

Vậy đa giác  là lục giác đều.

1. b) Ta có: là hình chóp đều. Nên

Mà (do

Nên S, O, O’ thẳng hàng.

Vậy OO’ vuông góc mặt đáy.

Định nghĩa

Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một mặt phẳng song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.

Trong hình chóp cụt đều  ta gọi:

+ Các điểm  là các đỉnh.

+ Đa giác  là đáy lớn, đa giác là đáy nhỏ. Đáy lớn và đáy nhỏ nằm trên hai mặt phẳng song song.

+ Cạnh của hai đa giác đáy là cạnh đáy. Các cạnh đáy tương ứng song song từng đôi một.

+ Các hình thang cân  là các mặt bên.

+ Cạnh bên của mặt bên gọi là cạnh bên của hình chóp cụt đều. Hình chóp cụt đều có các cạnh bên bằng nhau, các mặt bên là những hình thang cân.

+ Đoạn thẳng nối tâm hai đáy là đường cao. Độ dài đường cao là chiều cao.

Ví dụ 7 (SGK -tr.73)

Thực hành 5

Gọi O, O’ là tâm hai đáy ABC và A’B’C’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của BC, B’C’.

Kẻ

Ta có:

A’HOO’ là hình chữ nhật nên

Vậy

Vận dụng 5

Mô hình hoá hình ảnh cái bục bằng hình chóp cụt lục giác đều  có  và  là tâm của hai đáy. Kẻ .
Ta có: .
Diện tích đáy lớn là:
Diện tích đáy nhỏ là:
 là hình thang cân nên
Tam giác  vuông  

Diện tích một mặt bên là:  

Diện tích sáu mặt bên là:  

Diện tích cần sơn .

Tính chất cơ bản của hình