BÀI 5: PHÉP CHIẾU SONG SONG

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Vẽ hình chiếu của hình chóp S.ABCD lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu SA (SA không song song với (P)).

Giải:

Vì phương chiếu d là SA cắt (P) tại A’. Các đỉnh B, C, D có hình chiếu trên (P) lần lượt là B’, C’, D’ (BB’ // AA’; CC’ // AA’; DD’// AA’). Vậy hình chiếu của hình chóp S.ABCD lên (P) là tứ giác A’B’C’D’.

Câu 2: Cho tam giác ABC. Hãy chọn mặt phẳng chiếu (P) và phương chiếu d để hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (P) là một tam giác cân.

Giải:

Qua BC dựng mặt phẳng (P) không qua A. 

Trong mặt phẳng (P), dựng tam giác BCA’ cân tại A’. 

Khi đó, phép chiếu song song lên (P) theo phương chiếu AA’ biến tam giác ABC thành tam giác BCA’.

Câu 3: Cho tứ diện ABCD. I là trọng tâm tam giác ABC. Xác định hình chiếu song song của I theo phương CD lên mặt phẳng (ABD).

Giải:

Gọi E là trung điểm AB. J là trọng tâm tam giác ABD.

Ta có: => IJ //  CD 

=> Hình chiếu song song của I theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là điểm J.

Câu 4:

1. a)  Hình thang có thể là hình biểu diễn của hình bình hành không?
2. b) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Xác định hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (A’B’C’) theo phương CC’.

Giải:

1. a) Hình thang không thể là hình biểu diễn của hình bình hành vì hai cạnh bên của hình thang không song song trong khi đó cặp cạnh đối của hình bình hành thì song song.
2. b) Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên AA’//BB’//CC’. Vì A’ thuộc mặt phẳng (A’B’C’) nên A’ là hình chiếu của A trên mặt phẳng (A’B’C’) theo phương CC’.

Câu 5: Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau hay không ? Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có song song với nhau hay không ?

Giải:

Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau có hình chiếu là a' và b'. Nếu mặt phẳng a,a' và mặt phẳng b,b' song song với nhau thì a'//b'. Vậy hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song.

Nếu a và b là hai đường thẳng cắt nhau tại O và hình chiếu của O là O' thì O'a' và O'b' tức là a' và b' có điểm chung. Vậy hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau không thể song song được.

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Trong mặt phẳng () cho một tam giác ABC bất kì. Chứng minh rằng có thể xem tam giác ABC là hình chiếu song song của một tam giác đều nào đó.

Giải:

Cho tam giác ABC bất kì nằm trong mặt phẳng (). Gọi () là mặt phẳng qua BC và khác với (). Trong () ta vẽ tam giác đều BCD. Vậy ta có thể xem tam giác ABC cho trước là hình chiếu song song của tam giác đều DBC theo phương chiếu DA lên mặt phẳng ().

Câu 2: Vẽ hình biểu diễn của một hình lục giác đều.

Giải:

Với hình lục giác đều ABCDEF ta nhận thấy :

• Tứ giác OABC là hình bình hành (vừa là hình thoi) ;
• Các điểm D,E,F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A,B,C qua tâm O.

Từ đó ta suy ra cách vẽ hình biểu diễn của lục giác đều ABCDEF như sau :

- Vẽ hình bình hành O'A'B'C' biểu diễn cho hình bình hành OABC.

- Lấy các điểm D',E',F' lần lượt đối xứng của A',B',C' qua tâm O', ta được hình biểu diễn A'B'C'D'E'F' của hình lục giác đều ABCDEF.

Câu 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD. 

1. Chứng minh hình chiếu G’ của điểm G trên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AB là trọng tâm của tam giác BCD. 
2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AC. Tìm hình chiếu song song của các điểm M, N theo phép chiếu nói trên.

Giải:

Chứng minh G’ là trọng tâm của tam giác BCD: 

- Gọi I là trung điểm của CD. Qua phép chiếu song song phương AB thì IB là hình chiếu của IA trên mặt phẳng (BCD). 

- Vì phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự ba điểm A, G, I nên hình biểu diễn G’ của G nằm trên BI và ở giữa B và I. 

Trong tam giác IAB, ta có: 

Suy ra G’ là trọng tâm của tam giác BCD.

Câu 4: Cho hai hình bình hành ABCD và BCC’B’ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Tìm điểm M trên đoạn DB’, và điểm N trên đường chéo AC sao cho MN // BC’.

Giải:

- Phân tích: 

Giả sử đã tìm được và sao cho MN // BC.

Xét phép chiếu song song theo phương BC’ lên mặt phẳng (ABCD). Khi đó qua phép chiếu này, hình chiếu của các điểm D, M, B’ lần lượt là D, N, B’’. Vì D, M, B’ thẳng hàng nên D, N, B” cũng 

thẳng hàng. Do đó, N là giao điểm của DB” và AC. Từ đó, ta có cách dựng như sau: 

- Cách dựng: 

+ Dựng B” là hình chiếu của B’ qua phép chiếu theo phương BC’ lên mặt phẳng (ABCD). 

+ Dựng N là giao điểm của DB” và AC. 

+ Trong mặt phẳng (DB’B”), ta kẻ cắt DB’ tại M. 

Vậy M và N là các điểm cần tìm. 

Câu 5: Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC có hình chiếu song song là trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’, trong đó A’B’C’ là hình chiếu song song của tam giác ABC.

Giải:

Gọi I là trung điểm của cạnh AB.

Hình chiếu I' của I là trung điểm của A'B' (h.2.18).

GCI nên GC'I'

GCGI=2 nên G'C'G'I'=2.

Vậy G' là trọng tâm tam giác A'B'C'.

Câu 6: Hãy vẽ hình biểu diễn của một đường tròn cùng với hai đường kính vuông góc của đường tròn đó.

Giải:

Giả sử trên hình thực ta có đường tròn tâm O cùng với hai đường kính vuông góc của đường tròn đó là AB và CD . Nếu ta vẽ thêm một dây cung EF song song với AB thì đường kính CD sẽ đi qua trung điểm I của đoạn EF. Từ đó ta suy ra cách vẽ sau đây :

1. a) Vẽ hình elip biểu diễn cho đường tròn và vẽ đường kính A'B' của hình elip đó. Đường kính này đi qua tâm O' của elip.
2. b) Vẽ một dây cung E'F' song song với đường kính A'B'. Gọi I' là trung điểm của E'F'. Đường thẳng O'I' cắt elip tại hai điểm C' và D'. Ta có A'B' và C'D' là hình biểu diễn của hai đường kính vuông góc với nhau của đường tròn.

Nhận xét. Hình bình hành A'C'B'D' là hình biểu diễn của hình vuông ACBD nội tiếp trong một đường tròn.

Câu 7: Hãy chọn phép chiếu song song với phương chiếu và mặt phẳng chiếu thích hợp để hình chiếu song song của một tứ diện cho trước là một hình bình hành. 

Giải:

Cho tứ diện ABCD. Gọi d là một đường thẳng không song song với các cạnh của tứ diện và () là một mặt phẳng cắt d. Gọi A',B',C',D' lần lượt là hình chiếu của A,B,C,D trên mặt phẳng (). Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của hai cạnh đối diện AB và CD. Khi đó hình chiếu P' và Q' của P và Q sẽ lần lượt là trung điểm của A'B' và C'D'.

Muốn cho A',B',C',D' là các đỉnh của một hình bình hành ta chỉ cần chọn phương chiếu d sao cho d song song với đường thẳng PQ.

Vậy để hình chiếu song song của một tứ diện là một hình bình hành ta có thể chọn :

• Phương chiếu d là phương của một trong ba đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện của tứ diện cho trước ;
• Mặt phẳng chiếu () là mặt phẳng tuỳ ý, nhưng phải cắt đường thẳng d.

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Vẽ hình chiếu của hình hộp ABCDA1B1C1D1 lên một mặt phẳng (P) theo phương chiếu AC1(AC1 không song song với (P)).

Giải:

Chọn mặt phẳng chiếu (P) qua C1 và không chứa A. Gọi O là tâm của hình hộp. Khi đó hình chiếu của các điểm A,O,C1 là điểm C1.

Hình chiếu của đoạn thẳng B1D là đoạn thẳng B'D' nhận C1 làm trung điểm. 

Hình chiếu của đoạn thẳng CA1 là đoạn thẳng C'A' nhận C1 làm trung điểm. 

Hình chiếu của đoạn thẳng BD1 là đoạn thẳng B''D'' nhận C1 làm trung điểm. 

Vậy hình chiếu của hình hộp ABCDA1B1C1D1 lên mp(P) theo phương chiếu AC1 là lục giác A'B'B''C'D'D'' có các cạnh đối song song và bằng nhau.

Câu 2: Cho hình hộp ABCD:A'B'C'D'. Trên các cạnh AA',BC lần lượt lấy các điểm M và N không trùng với các đính của hình hộp. Trong hình bình hành A'B'C'D' lấy một điểm P. Hãy xác định hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt của hình hộp với mp(MNP).

Giải:

Tìm giao điểm của đường thẳng PM với mặt phẳng (ABCD). Gọi P1 là hình chiếu song song của P trên mp⁡(ABCD) theo phương chiếu AA'. Khi đó PM cắt P1A tại I. Vì I thuộc mp(ABCD) nên IN cắt AB tại K. Goi E là giao điểm của KM với A'B'. Nối E với P cắt A'D' và B'C' lần li̛ợt tại F và G. 

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là ngũ giác MKNGF.

Câu 3: Cho hai đường thẳng d và d " chéo nhau. Trên d đặt hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau AB và BC(B ở giữa A và C ) ; trên d ' đặt hai đoạn thẳng liên tiếp cũng bằng nhau A'B' và B'C'(B' ở giữa A' và C'). Chứng minh rằng AA'+CC'>2BB'

Giải:

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua AA' và song song với BB'. Theo định lí Ta-lét, ta cũng có CC'//mp(P). Xét phép chiếu song song lên mp(P) theo phương chiếu d, ta được hình chiếu của A',B',C' tương ứng là A',B1,C1. Khi đó ba điểm A',B1,C1 thẳng hàng. 

Ta có C'C1//CA và vì CC'//mp(P) nên giao tuyến AC1 của mp⁡CC'C1A với mp(P) song song với CC'. Do đó tứ giác CCC1A là hình bình hành, nên AC1=CC'. 

Tương tự như vậy, ta cũng chứng minh được AB1=BB'. Ta phải chứng minh⁡AA'+AC1>2AB1.

Thật vậy, vì B' là trung điểm của A'C' nên B1 là trung điểm của cạnh A'C1 của tam giác AA'C1. Từ đó dễ thấy tổng hai cạnh AA' và AC1 trong tam giác AA'Ci Iớn hơn hai lần trung tuyến ứng với cạnh thứ ba.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho hình hộp ABCDA'B'C'D' Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CD và CC.
a) Xác định đường thẳng qua M cắt AN và cắt A'B.
b) Gọi I,J lần lượt là giao điểm của với AN và A'B. Hãy tìm tỉ số IMIJ.

Giải:

1. a) Giả sử đã dựng được đường thẳng cần tìm cắt cả AN và BA'. Gọi I,J lần lượt là giao điểm của với AN và BA'.

Xét phép chiếu song song lên mp(ABCD) theo phương chiếu A'B. Khi đó ba điểm J,I,M lần lượt có hình chiếu là B, I' và M. Do đó ba điểm B,I',M thẳng hàng. 

Gọi N' là hình chiếu của N thì AN' là hình chiều-của AN. Vì I thuộc AN nên I' thuộc AN'. Vậy I là giao điểm của BM và AN.

Từ phân tích ở trên ta có thể dựng đường thẳng  theo các bước sau đây :

• Lấy giao điểm I' của AN’ và BM.
• Trong mp⁡ANN' dựng II'//NN' (đã có NN'//CD' ) cắt AN tại II.
• Vẽ đường thẳng MI, đó là đường thẳng cần tìm.

Dễ chứng minh được, đường thẳng nói trên cắt BA'.

1. b) Dễ thấy ' MC=CN'

suy ra: MN'=CD=AB.

Do đó I' là trung điểm của BM.

Mặt khác II' // JB, nên II' là đường trung bình của tam giác MBJ, suy ra IM=IJIMIJ=1

Câu 2: Cho hình hôp ABCD.A1B1C1D1.

1. a) Hãy xác định đường thẳng cắt cả hai đường thẳng AC1 và BA1 đồng thời song song với B1D1.
2. b) Goi I, J lần lượt là giao điểm của với AC1 và BA1. Tính tỉ số .

Giải:

1. a) Giả sử đã xác định được đường thẳng cắt AC1 và BA1 lần lượt tại I và J.

Xét phép chiếu song song lên mp⁡ABB1A1 theo phưong chiếu D1B1. Khi đó, hình chiếu của ba điểm thẳng hàng A,I,C1 lần lượt là ba điểm thẳng hàng A,J,K. Mặt khác J thuộc BA1, nên J chính là gịao điểm của AK và BA1.

Ta dựng đường thẳng theo các bước sau:

- Dựng điểm K là hình chiếu của C1 (theo phương chiếu D1B1).

- Lấy giao điểm J của AK và BA1.

- Qua J dựng đường thẳng Δ//C1K (đã có C1K// B1D1)ta được đường thẳng cần tìm.

1. b) Dễ thấy (do )

Vì .

Mặt khác .