CHƯƠNG 8: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 3: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

( 18 câu)

1. NHẬN BIẾT ( 3  câu)

Câu 1: Cho tứ diện có và . Gọi là trung điểm của . Chứng minh:

 Hướng dẫn giải:

Tam giác cân tại có trung điểm đáy ⇒ (1)

Tam giác cân tại có trung điểm đáy ⇒ (2)

(1) và (2) ⇒. 

Câu 2: Cho hình chóp có và , gọi là trung điểm . Góc giữa hai mặt phẳng và là góc nào ?

 Hướng dẫn giải:

Ta có:  

.

Câu 3: Cho tam giác cân có đường cao , chứa trong mặt phẳng . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng . Biết tam giác vuông tại . Gọi là góc giữa và . Tính cos

 Hướng dẫn giải:

Ta có .

Do đó: . 

Mặt khác, tam giác vuông tại nên . 

Ta có . 

2. THÔNG HIỂU ( 7 câu)

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác , có đáy là hình thoi tâm cạnh bằng và góc , cạnh và vuông góc với mặt phẳng . Trong tam giác kẻ tại . Tính số đo góc .

 Hướng dẫn giải:

Ta có ; .

với là hình chiếu của lên , là hình chiếu của lên . 

Câu 2: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm cạnh và có góc . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy và . Gọi là trung điểm và là trung điểm . Góc giữa hai mặt phẳng và là

 Hướng dẫn giải:

• đều nên . Mặt khác (1).
• Do (2).
• Từ (1) và (2), suy ra

Vậy, góc giữa và bằng

Câu 3: Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm . Biết , và đường tròn ngoại tiếp có bán kính bằng . Gọi là góc hợp bởi mặt bên với đáy. Khi đó

 Hướng dẫn giải:

Gọi là trung điểm của . 

Khi đó  

.

Ta có: .

.

Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật có ,. Gọi là góc giữa đường chéo và đáy. Tính .

 Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết ta suy ra: là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông tại ta có:

.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tại ta có:

.

Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và đường cao bằng cạnh đáy. Tính số đo góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy.

 Hướng dẫn giải:.

+ Vì và hay là hình chiếu vuông góc của lên .

+ Gọi , lần lượt là trung điểm của , .

Vì là tam giác đều cạnh nên dễ tính được : .

Từ giả thiết suy ra là trọng tậm .

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tại ta có:

.

Câu 6: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng và chiều cao bằng . Tính số đo của 

góc giữa mặt bên và mặt đáy.

 Hướng dẫn giải:.

Giả sử hình chóp đã cho là có đường cao .

Ta có: .

Gọi là trung điểm của dễ chứng minh được và .

.

Mặt khác:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tại , ta có :

.

Câu 7: Tính của góc giữa hai mặt của một tứ diện đều.

Hướng dẫn giải:.

Giả sử tứ diện đều đã cho là có cạnh .

Ta có: .

Gọi là trung điểm . Khi đó dễ dàng chứng minh được và .

.

Ta dễ tính được: .

Áp dụng hệ quả của định lý cô sin trong tam giác ta có:

.

3. VẬN DỤNG (6 câu)

Câu 1: Cho tứ diện đều . Góc giữa và bằng . Tính cos a

 Hướng dẫn giải:

Đặt . Gọi là trung điểm của .

Tam giác đều cạnh nên và .

Tam giác đều nên và .

Do đó, .

Tam giác có .

Câu 2: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng . Tính của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.

 Hướng dẫn giải:.

Giả sử gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng là có đường cao .

Ta có: . Gọi là trung điểm .

Dễ chứng minh được và .

Từ giả thiết suy ra là tam giác đều cạnh có là đường trung tuyến .

.

Câu 3: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh và có . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng

 Hướng dẫn giải:

Gọi là chân đường vuông góc của xuống mặt phẳng đáy ()

⇒ các hình chiếu: ⇒ là tâm đường tròn

Mà tam giác cân tại (vì ) ⇒ tâm phải nằm trên ⇒ 

Vậy có nên góc .

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều , có đáy là hình vuông tâm . Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng . Gọi là trung điểm . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng:

 Hướng dẫn giải:

Gọi là trung điểm . Có  ;

. Do đó

Câu 5: Cho tam giác vuông tại . Cạnh nằm trong mặt phẳng , cạnh , tạo với một góc . Tính số đo góc giữa và

 Hướng dẫn giải:

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .

Khi đó, và .

Tam giác vuông tại nên .

Tam giác vuông tại nên .

Câu 6: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh và góc . Các cạnh đều bằng . Gọi là góc của hai mặt phẳng và . Giá trị bằng bao nhiêu?

 Hướng dẫn giải:

Do và nên tam giác đều.

Gọi là hình chiếu của lên .

Do nên là tâm đường tròn ngoại tiế tam giác . 

Ta có :.

Mặt khác, ,  

4. VẬN DỤNG CAO ( 2 câu)

Câu 1: Cho hình chóp tam giác đều với . Góc giữa và bằng .Tính cos

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC

Gọi suy ra H là trung điểm AB( vì đều)

và

Tìm góc giữa và

(1)

Ta có 

Từ (1) suy ra

Từ đó ta có :

Câu 2: Trong không gian cho tam giác đều và hình vuông cạnh nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Ta có của góc tạo bởi hai mặt phẳng và bằng :

Ta có:

Gọi với

Do đó:

Mặt khác: ; mà

Vì là trung điểm của (vì )

(theo định lí ba đường vuông góc)

Do đó: là góc giữa và  

Mà là đường cao trong đều cạnh

Xét vuông tại có: .