BÀI 17: HÀM SỐ LIÊN TỤC

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Xét tính liên tục của hàm số  tại x = 2.

Giải:

Ta có: .

.

.

Vậy hàm số liên tục tại .

Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số  tại x = 1.

Giải:

Hàm số không xác định tại  Nên hàm số gián đoạn tại .

Câu 3: Cho hàm số . Xét tính liên tục của hàm số tại x = -2.

Giải:

.

Vậy nên hàm số liên tục tại .

Câu 4: Cho hàm số . Xét tính liên tục của hàm số tại x = -1.

Giải:

Ta có:  và

Suy ra  

Vậy hàm số không liên tục tại .

Câu 5: Cho hàm số . Xét tính liên tục của hàm số trên .

Giải:

Với  ta có hàm số  liên tục trên khoảng  và , .

Với  ta có  và nên hàm số liên tục tại ,

Từ  và  ta có hàm số liên tục trên .

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho hàm số  và với . Giá trị của để  liên tục tại là:

Giải:

Hàm số liên tục tại .

Ta có .

Vậy .

Câu 2: Cho hàm số. Tìm  để liên tục tại .

Giải:

Hàm số liên tục tại .

.

.

Vậy: .

Câu 3: Cho hàm số . Tìm  để  gián đoạn tại .

Giải:

TXĐ: .

Với  ta có

Với  ta có

;  suy ra .

Vậy để hàm số gián đoạn tại khi .

Câu 4: Cho hàm số . Tìm  để  liên tục trên .

Giải:

TXĐ: .

Với  ta có .

Ta có .

Vậy để hàm số liên tục trên  khi .

Câu 5: Cho hàm số . Xét tính liên tục của hàm số trên .

Giải:

Hàm số xác định với mọi x thuộc

 Với  hàm số liên tục

 Với  hàm số liên tục

 Tại  ta có :

 ;

Hàm số liên tục tại .

Vậy hàm số liên tục trên .

Câu 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :

1. a)

b)

Giải:

a)

Do đó, hàm số này liên tục tại

b)

Mà  khi nên

Do đó, hàm số đã cho liên tục khi

Câu 7: Tìm các giá trị của  để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:

1. a) b)

Giải:

1. a) Hàm số liên tục với .

Do đó liên tục trên  liên tục tại    

Ta có

Khi đó .

1. b) Ta có:

Từ yêu cầu đề bài:

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:        

Giải:

Xét . Phương trình có dạng  nên PT có nghiệm

Với  giả sử

 liên tục trên R nên  liên tục trên

Ta có

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số .

Câu 2: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm:

1. a)
2. b)

Giải:

1. a) Xét

 tồn tại một số  sao cho

 tồn tại một số  sao cho

Từ đó  luôn tồn tại một số  nên phương trình  luôn có nghiệm.

1. b) Xét liên tục trên

Ta có:

 tồn tại một số  sao cho .

Từ đó  nên luôn tồn tại một số  thỏa mãn  nên phương trình  luôn có nghiệm.

Câu 3: Chứng minh rằng phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:                  

Giải:

Dễ thấy hàm  liên tục trên . Ta có:

tồn tại một số

 tồn tại một số

 tồn tại một số

Do ba khoảng  và  đôi một không giao nhau nên phương trình  có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.

Mà phương trình bậc 3 thì chỉ có tối đa là 3 nghiệm nên  có đúng 3 nghiệm phân biệt.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Chứng minh rằng phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

Giải:

Đặt .

Xét hàm số  liên tục trên .

Ta có:  tồn tại 3 số và  lần lượt thuộc 3 khoảng đôi một không giao nhau là  và  sao cho  và do đây là phương trình bậc 3 nên  có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Ứng với mỗi giá trị và  ta tìm được duy nhất một giá trị  thỏa mãn  và hiển nhiên 3 giá trị này khác nhau nên PT ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Câu 2: Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

1. b)
2. c)

Giải:

1. b) Đặt liên tục trên R

Ta có

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số

1. c) Đặt liên tục trên R

Ta có

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số