BÀI 12: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

(18 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1:

1. a) Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa và song song với?
2. b) Cho hai đường thẳng song song và . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa và song song với ?

Giải:

1. a) Theo định lý. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
2. b) Cho hai đường thẳng song song. Có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Câu 2: Cho hình chóp  có đáy  là hình bình hành. Gọi  là giao tuyến của hai mặt phẳng  và . Chứng minh  qua  và song song với .

Giải:

Ta có

Câu 3: Cho tứ diện.  và  theo thứ tự là trung điểm của  và,  là trọng tâm tam giác. Giao tuyến của hai mặt phẳng  và  là đường thẳng nào ?

Giải:

Gọi  là giao tuyến của  và .

Ta có , , , .

Suy ra  đi qua  và song song với .

Câu 4: Cho hình bình hành  và một điểm  không nằm trong mặt phẳng. Giao tuyến của hai mặt phẳng  và  là một đường thẳng song song với đường thẳng nào?

Giải:

Xét  và  có  là điềm chung

Câu 5: Cho hình chóp  có đáy  là hình bình hành tâm ,  là trung điểm cạnh . Chứng minh:

1. a) .
2. b) .

Giải:

1. a) Ta có:
2. b) Ta có: .

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho tứ diện . Gọi  và  lần lượt là trọng tâm các tam giác  và .

Chứng minh ;  và .

Giải:

 và  lần lượt là trọng tâm các tam giác  và  nên ,  và  đồng qui tại (là trung điểm của ) .

Vì  nên và .

Do  và  nên

Câu 2: Cho tứ diện . Gọi  lần lượt là trung điểm của các cạnh  Gọi lần lượt là trọng tâm của tam giác  và tam giác . Gọi  là giao tuyến của hai mặt phẳng và . Chứng minh .

Giải:

Ta có là đường trung bình của tam giác, suy ra

Như vậy suy ra giao tuyến của 2 mặt phẳng và là đường thẳng qua  và song song với .

 lần lượt là trọng tâm của tam giác  và tam giác  nên  vì

Do đó .

Câu 3: Cho tứ diện có . Mặt phẳng qua trung điểm của  và song song với, . Tìm giao tuyến của mặt phẳng  với các mặt của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?

Giải:

Gọi  là trung điểm của .

Ta có: ,  là trung điểm  .

,  là trung điểm  .

,  là trung điểm .

Hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác MNPQ.

Ta có :

Tương tự

Khi đó MNPQ là hình bình hành.

Lại có:  suy ra .

Vậy MNPQ là hình thoi.

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi O là tâm của đáy. Tam giác SAB là tam giác đều. Gọi là điểm trên cạnh BC. Mặt phẳng  đi qua và song song với . Hãy tìm giao tuyến của (P) với các mặt (ABCD), (SAD), (SCD), (SBC) của hình chóp.

Giải:

Qua  kẻ một đường thẳng song song với , cắt  tại .

Qua  kẻ một đường thẳng song song với , cắt  tại .

Gọi Quakẻ đường thẳng song song với , cắt  tại .

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác MNPQ.

Do  nên

Đặt Có

Tương tự,

Từ (1) và (2) ta có là hình thang cân.

Câu 5: Cho hai hình bình hành  và  không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là  và .

1. a) Chứng minh song song với các mặt phẳng và .
2. b) Gọi lần lượt là hai điểm trên các cạnh sao cho. Chứng minh  song song với .

Giải:

1. a) Ta có là đường trung bình của tam giác ứng với cạnh  nên ,

.

Tương tự,  là đường trung bình của tam giác  ứng với cạnh  nên , .

1. b) Trong , gọi

Do  nên .

Lại có . Mà .

Câu 6: Cho hình chóp  có đáy  là một hình bình hành. Gọi  là trọng tâm tam giác ,  là trung điểm của  và  là điểm trên cạnh  sao cho .

1. a) Đường thẳng đi qua và song song với cắt  tại . Chứng minh .
2. b) Chứng minh .

Giải:

Ta có ,

,

mà

.

1. b) Gọi là giao điểm của và

Ta có

, .

Câu 7: Cho hình chóp  có đáy  là hình thang, đáy lớn là  là trung điểm  Mặt phẳng  qua  song song với  và  cắt  lần lượt tại  và  Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng  và các mặt (ABCD), (SDC), (SBC), (SAB) của hình chóp là hình gì?

Giải:

Trong mặt phẳng  , qua  kẻ đường thẳng  Khi đó,

Trong mặt phẳng  , qua  kẻ đường thẳng  Khi đó,

Vậy

Xét hai mặt phẳng  và  có  hai mặt phẳng cắt nhau theo một giao tuyến đi qua điểm  và song song với

Trong mặt phẳng  kẻ  Khi đó,  là giao tuyến của mặt phẳng  với mặt phẳng .

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác

Tứ giác  có  là hình bình hành. Từ đó suy ra

Trong tam giác  có  thuộc đoạn ,  thuộc đoạn  và  nên

Tứ giác  có  là hình thang có đáy lớn là

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho hình chópcóđáy là hình thoi cạnh ,,. là trung điểm của đoạn .là một điểm trên cạnh . Đặt . Mặt phẳng  chứa và song song với . Tìm giao tuyến của các mặt (ABCD), (SAB), (SAC), SBC) của hình chóp với mặt phẳng . Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến theo là:

Giải:

Do   nên  cắt   và lần lượt theo các  giao tuyến  song song với.

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là MNEF.

Trong kẻ  (1).

Trong kẻ  (2).

Từ (1) và (2),suy ra  nên tứ giác là hình thang.

Hai tam giác  và  bằng nhau (c.c.c) nên .

Hai tam giác  và  bằng nhau (c.g.c) nên .

Áp dụng hệ quả của định lý hàm số cosin trong tam giác ta có:

.

Tam giác  có

.

.

.

Ta có

.

Vậy 

Câu 2: Cho tứ diện trong đó  và là một điểm trên cạnh với Mặt phẳng qua, song song với và. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến của và các mặt của tứ diện  theo và.

Giải:

Qua  kẻ các đường thẳng song song với  và  cắt  và  lần lượt tại  và .

Qua  kẻ đường thẳng song song với  cắt  tại .

Suy ra hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác  có nên tứ giác  là hình chữ nhật.

Có

.

Câu 3: Cho hình chóp ,  là một điểm nằm trong tam giác . Các đường thẳng qua  song song với  cắt các mặt phẳng  lần lượt tại . Tìm vị trí của  trong tam giác để nhận giá trị lớn nhất

Giải:

Do  nên bốn điểm này nằm trong cùng mặt phẳng. Giả sử  là giao điểm của mặt phẳng này với . Khi đó  thẳng hàng và ta có: .

Tương tự ta có: . Vậy .

Ap dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

.

Dầu bằng xảy ra khi và chỉ khi: .

Điều này chỉ xảy ra khi  là trọng tâm tam giác .

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Câu 1: Cho hình chóp ,đáy là hình vuông cạnh ,mặt bên là tam giác đều.Cho .Gọi lần lượt là trung điểm của .Gọi là một điểm trên cạnh .Mặt phẳngcắt tại .Cho biết là hình thang cân.Đặt .Tìm  để diện tích là nhỏ nhất.

Giải:

Ta có ngay  và .Trong tam giác ,ta có

Trong tam giác ,ta có .

Trong hình thang cân ,gọi là chân đường cao hạ từ ,ta có .Suy ra .

Ta có biến đổi:.

Vậy đạt được khi .

Câu 2: Cho tứ diện  trong đó  và  là một điểm trên cạnh . Mặt phẳng  qua .., song song vớivà. Diện tích hình tạo bởi các giao tuyến của và các mặt của tứ diện  đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Giải:

Qua  kẻ các đường thẳng song song vớivà  cắt  và lần lượt tại  và .

Qua  kẻ đường thẳng song song với cắt  tại  .

Suy ra hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác  có nên tứ giác là hình chữ nhật.

Có

.

Theo bất đẳng thức Cô-si:  khi .

Câu 3:

Cho hình chóp  với đáy  là hình thang với đáy  và . Gọi  lần lượt là trọng tâm các tam giác  và . Mặt phẳng  cắt  lần lượt tại . Mặt phẳng  cắt  lần lượt tại . Gọi  là giao điểm của  và ,  là giao điểm của  và . Chứng minh

1. a) và song song với nhau.
2. b) và song song với nhau.
3. c)

Giải:

1. a) Ta có , suy ra .

Do .

Ta có: , suy ra .

Do .

Từ đó suy ra  và  song song với nhau.

1. b) Ta có: .

Suy ra .

1. c) Gọi là giao điểm của với .

Do .

Theo định lý Thalet ta có: . Do  song song với  nên theo định lý Thalet ta có : .

Tương tự ta cũng có: .

Từ đây suy ra .