BÀI 14: PHÉP CHIẾU SONG SONG

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Vẽ hình chiếu của hình chóp S.ABCD lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu SA (SA không song song với (P)).

Giải:

Vì phương chiếu d là SA cắt (P) tại A’. Các đỉnh B, C, D có hình chiếu trên (P) lần lượt là B’, C’, D’ (BB’ // AA’; CC’ // AA’; DD’// AA’). Vậy hình chiếu của hình chóp S.ABCD lên (P) là tứ giác A’B’C’D’.

Câu 2: Cho tam giác ABC. Hãy chọn mặt phẳng chiếu (P) và phương chiếu d để hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (P) là một tam giác cân.

Giải:

Qua BC dựng mặt phẳng (P) không qua A.

Trong mặt phẳng (P), dựng tam giác BCA’ cân tại A’.

Khi đó, phép chiếu song song lên (P) theo phương chiếu AA’ biến tam giác ABC thành tam giác BCA’.

Câu 3: Cho tứ diện ABCD. I là trọng tâm tam giác ABC. Xác định hình chiếu song song của I theo phương CD lên mặt phẳng (ABD).

Giải:

Gọi E là trung điểm AB. J là trọng tâm tam giác ABD.

Ta có:  => IJ //  CD

=> Hình chiếu song song của I theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là điểm J.

Câu 4: Hình thang có thể là hình biểu diễn của hình bình hành không?

Giải:

Hình thang không thể là hình biểu diễn của hình bình hành vì hai cạnh bên của hình thang không song song trong khi đó cặp cạnh đối của hình bình hành thì song song.

Câu 5: Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau hay không ? Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có song song với nhau hay không ?

Giải:

Giả sử  và  là hai đường thẳng chéo nhau có hình chiếu là  và . Nếu mặt phẳng  và mặt phẳng  song song với nhau thì . Vậy hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song.

Nếu  và  là hai đường thẳng cắt nhau tại  và hình chiếu của  là  thì  và  tức là  và  có điểm chung. Vậy hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau không thể song song được.

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Trong mặt phẳng  cho một tam giác  bất kì. Chứng minh rằng có thể xem tam giác  là hình chiếu song song của một tam giác đều nào đó.

Giải:

Cho tam giác  bất kì nằm trong mặt phẳng . Gọi  là mặt phẳng qua  và khác với . Trong  ta vẽ tam giác đều . Vậy ta có thể xem tam giác  cho trước là hình chiếu song song của tam giác đều  theo phượng chiếu  lên mặt phẳng .

Câu 2: Vẽ hình biểu diễn của một hình lục giác đều.

Giải:

Với hình lục giác đều  ta nhận thấy :

• Tứ giác là hình bình hành (vừa là hình thoi) ;
• Các điểm lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm  qua tâm O.

Từ đó ta suy ra cách vẽ hình biểu diễn của lục giác đều  như sau :

- Vẽ hình bình hành  biểu diễn cho hình bình hành .

- Lấy các điểm  lần lượt đối xứng của  qua tâm , ta được hình biểu diễn  của hình lục giác đều .

Câu 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD.

1. Chứng minh hình chiếu G’ của điểm G trên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AB là trọng

tâm của tam giác BCD.

1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AC. Tìm hình chiếu song song của các điểm M, N theo phép chiếu nói trên.

Giải:

Chứng minh G’ là trọng tâm của tam giác BCD:

- Gọi I là trung điểm của CD. Qua phép chiếu song song phương AB thì IB là hình chiếu của IA trên mặt phẳng (BCD).

- Vì phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự ba điểm A, G, I nên hình biểu diễn G’ của G nằm trên BI và ở giữa B và I.

Trong tam giác IAB, ta có:

Suy ra G’ là trọng tâm của tam giác BCD.

Câu 4: Cho hai hình bình hành ABCD và BCC’B’ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Tìm điểm M trên đoạn DB’, và điểm N trên đường chéo AC sao cho MN // BC’.

Giải:

- Phân tích:

Giả sử đã tìm được  và sao cho MN // BC.

Xét phép chiếu song song theo phương BC’ lên mặt phẳng (ABCD). Khi đó qua phép chiếu này, hình chiếu của các điểm D, M, B’ lần lượt là D, N, B’’. Vì D, M, B’ thẳng hàng nên D, N, B” cũng

thẳng hàng. Do đó, N là giao điểm của DB” và AC. Từ đó, ta có cách dựng như sau:

- Cách dựng:

+ Dựng B” là hình chiếu của B’ qua phép chiếu theo phương BC’ lên mặt phẳng (ABCD).

+ Dựng N là giao điểm của DB” và AC.

+ Trong mặt phẳng (DB’B”), ta kẻ cắt DB’ tại M.

Vậy M và N là các điểm cần tìm.

Câu 5: Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC có hình chiếu song song là trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’, trong đó A’B’C’ là hình chiếu song song của tam giác ABC.

Giải:

Gọi  là trung điểm của cạnh .

Hình chiếu  của  là trung điểm của  (h.2.18).

 nên

 nên .

Vậy  là trọng tâm tam giác .

Câu 6: Hãy vẽ hình biểu diễn của một đường tròn cùng với hai đường kính vuông góc của đường tròn đó.

Giải:

Giả sử trên hình thực ta có đường tròn tâm  cùng với hai đường kính vuông góc của đường tròn đó là  và  . Nếu ta vẽ thêm một dây cung  song song với  thì đường kính  sẽ đi qua trung điểm  của đoạn . Từ đó ta suy ra cách vẽ sau đây :

1. a) Vẽ hình elip biểu diễn cho đường tròn và vẽ đường kính của hình elip đó. Đường kính này đi qua tâm của elip.
2. b) Vẽ một dây cung song song với đường kính . Gọi là trung điểm của . Đường thẳng  cắt elip tại hai điểm  và . Ta có  và  là hình biểu diễn của hai đường kính vuông góc với nhau của đường tròn.

Nhận xét. Hình bình hành  là hình biểu diễn của hình vuông  nội tiếp trong một đường tròn.

Câu 7: Hãy chọn phép chiếu song song với phương chiếu và mặt phẳng chiếu thích hợp để hình chiếu song song của một tứ diện cho trước là một hình bình hành.

Giải:

Cho tứ diện . Gọi  là một đường thẳng không song song với các cạnh của tứ diện và  là một mặt phẳng cắt . Gọi  lần lượt là hình chiếu của  trên mặt phẳng . Gọi  và  lần lượt là trung điểm của hai cạnh đối diện  và . Khi đó hình chiếu  và  của  và  sẽ lần lượt là trung điểm của  và .

Muốn cho  là các đỉnh của một hình bình hành ta chỉ cần chọn phương chiếu  sao cho  song song với đường thẳng .

Vậy để hình chiếu song song của một tứ diện là một hình bình hành ta có thể chọn :

• Phương chiếu là phương của một trong ba đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện của tứ diện cho trước ;
• Mặt phẳng chiếu là mặt phẳng tuỳ ý, nhưng phải cắt đường thẳng .

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Vẽ hình chiếu của hình hộp  lên một mặt phẳng  theo phương chiếu  không song song với .

Giải:

Chọn mặt phẳng chiếu  qua  và không chứa . Gọi  là tâm của hình hộp. Khi đó hình chiếu của các điểm  là điểm .

Hình chiếu của đoạn thẳng  là đoạn thẳng  nhận  làm trung điểm.

Hình chiếu của đoạn thẳng  là đoạn thẳng  nhận  làm trung điểm.

Hình chiếu của đoạn thẳng  là đoạn thẳng  nhận  làm trung điểm.

Vậy hình chiếu của hình hộp  lên  theo phương chiếu  là lục giác  có các cạnh đối song song và bằng nhau.

Câu 2: Cho hình hộp . Trên các cạnh  lần lượt lấy các điểm  và  không trùng với các đính của hình hộp. Trong hình bình hành  lấy một điểm . Hãy xác định hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt của hình hộp với .

Giải:

Tìm giao điểm của đường thẳng  với mặt phẳng . Gọi  là hình chiếu song song của  trên  theo phương chiếu . Khi đó  cắt  tại . Vì  thuộc  nên  cắt  tại . Goi  là giao điểm của  với . Nối  với  cắt  và  lần li̛ợt tại  và .

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là ngũ giác .

Câu 3: Cho hai đường thẳng  và  " chéo nhau. Trên  đặt hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau  và  ở giữa  và  ) ; trên  ' đặt hai đoạn thẳng liên tiếp cũng bằng nhau  và  ở giữa  và . Chứng minh rằng

Giải:

Gọi  là mặt phẳng đi qua  và song song với . Theo định lí Ta-lét, ta cũng có . Xét phép chiếu song song lên  theo phương chiếu , ta được hình chiếu của  tương ứng là . Khi đó ba điểm  thẳng hàng.

Ta có  và vì  nên giao tuyến  của  với  song song với . Do đó tứ giác  là hình bình hành, nên .

Tương tự như vậy, ta cũng chứng minh được . Ta phải chứng .

Thật vậy, vì  là trung điểm của  nên  là trung điểm của cạnh  của tam giác . Từ đó dễ thấy tổng hai cạnh  và  trong tam giác  Iớn hơn hai lần trung tuyến ứng với cạnh thứ ba.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho hình hộp  Gọi  lần lượt là trung điểm của  và .
a) Xác định đường thẳng  qua  cắt  và cắt .
b) Gọi  lần lượt là giao điểm của  với  và . Hãy tìm tỉ số .

Giải:

1. a) Giả sử đã dựng được đường thẳng cần tìm cắt cả và . Gọi  lần lượt là giao điểm của  với  và .

Xét phép chiếu song song lên  theo phương chiếu . Khi đó ba điểm  lần lượt có hình chiếu là  và . Do đó ba điểm  thẳng hàng.

Gọi  là hình chiếu của  thì  là hình chiều-của . Vì  thuộc  nên  thuộc . Vậy  là giao điểm của  và .

Từ phân tích ở trên ta có thể dựng đường thẳng   theo các bước sau đây :

• Lấy giao điểm của ’ và .
• Trong dựng  (đã có  ) cắt  tại II.
• Vẽ đường thẳng , đó là đường thẳng cần tìm.

Dễ chứng minh được, đường thẳng  nói trên cắt .

1. b) Dễ thấy '

suy ra: .

Do đó  là trung điểm của .

Mặt khác  // , nên  là đường trung bình của tam giác , suy ra

Câu 2: Cho hình hôp .

1. a) Hãy xác định đường thẳng cắt cả hai đường thẳng và  đồng thời song song với .
2. b) Goi I, J lần lượt là giao điểm của với AC₁ và BA₁. Tính tỉ số .

Giải:

1. a) Giả sử đã xác định được đường thẳng cắt và  lần lượt tại  và .

Xét phép chiếu song song lên  theo phưong chiếu . Khi đó, hình chiếu của ba điểm thẳng hàng  lần lượt là ba điểm thẳng hàng . Mặt khác  thuộc , nên  chính là gịao điểm của  và .

Ta dựng đường thẳng  theo các bước sau:

- Dựng điểm K là hình chiếu của C₁ (theo phương chiếu D₁B₁).

- Lấy giao điểm J của AK và BA₁.

- Qua J dựng đường thẳng (đã có // ta được đường thẳng  cần tìm.

1. b) Dễ thấy (do )

Vì .

Mặt khác .