CHƯƠNG IV: QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 10: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho hình chóp  có  và  Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

1. a) và .
2. b) và .

Giải:

1. a) Giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng
2. b) Giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng .

Câu 2: Cho hình chóp  có đáy là hình thang . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

1. a) và
2. b) và

Giải:

1. a) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

,  là hai điểm chung của  và  nên giao tuyến của mặt phẳng  và mặt phẳng  là đường thẳng .

1. b) Gọi I là giao điểm của AD và BC.

,  là hai điểm chung của  và  nên giao tuyến của mặt phẳng  và mặt phẳng  là đường thẳng

Câu 3:

1. a) Cho bốn điểm không đồng phẳng, ta có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ bốn điểm đã cho ?
2. b) Trong mp, cho bốn điểm , , , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm . Có mấy mặt phẳng tạo bởi và hai trong số bốn điểm nói trên?
3. c) Cho 2 đường thẳng cắt nhau và không đi qua điểm . Xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng bởi a, b và A ?

Giải:

1. a) Do bốn điểm không đồng phẳng nên không tồn tại bộ ba điểm thẳng hàng trong số bốn điểm đó. Cứ ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng nên số mặt phẳng phân biệt có thể lập được từ bốn điểm đã cho là
2. b) Điểm cùng với hai trong số bốn điểm , , , tạo thành một mặt phẳng, từ bốn điểm ta có  cách chọn ra hai điểm, nên có tất cả  mặt phẳng tạo bởi  và hai trong số bốn điểm nói trên.
3. c) Có 3 mặt phẳng gồm .

Câu 4: Cho tứ diện . Gọi , lần lượt là trung điểm  và . Mặt phẳng  qua  cắt  và  lần lượt tại , . Biết cắt  tại . Chứng minh I, B, D thẳng hàng.

Giải:

Ta có cắt  tại .

.

.

Vậy , , thẳng hàng.

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác  với đáy  có các cạnh đối diện không song song với nhau và  là một điểm trên cạnh .

1. a) Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng .
2. b) Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng .

Giải:

1. a) Trong mặt phẳng , gọi .

Trong  gọi.

Ta có  và  nên .

1. b) Trong gọi .

Trong  gọi .

Ta có  và  nên .

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác ,  là một điểm trên cạnh ,  là trên cạnh . Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng.

Giải:

Trong mặt phẳng  gọi .

Trong  gọi  và .

Ta có .

Do đó .

Vậy

Câu 2: Cho hình chóp  có đáy  là hình bình hành. Gọi  là trung điểm của cạnh . Gọi  là giao điểm của đường thẳng  vơí mặt phẳng . Khi đó tỉ số  bằng bao nhiêu?

Giải:

Gọi . Ta có: ; .

Suy ra .

Xét tam giác  có hai đường trung tuyến  và  cắt nhau tại điểm . Vậy  là trọng tâm tam giác . Vậy ta có .

• Câu 3: Cho hình chóp , đáy là hình thang với là đáy lớn , là trọng tâm tam giác . Mặt phẳng cắt cạnh tại . Khi đó, tỷ số  bằng bao nhiêu?

Giải:

Gọi  là trung điểm của

Ta có:

Suy ra, I là trung điểm của BM

Xét

Câu 4: Cho tứ diện . Gọi  là một điểm bên trong tam giác  và  là một điểm trên đoạn . Gọi  là hai điểm trên cạnh , . Giả sử  cắt tại ,  cắt  tại  và cắt  tại ,  cắt  tại . Giao tuyến của hai mặt phẳng  và  là đường thẳng:

Giải:

Do là giao điểm của  và  nên  (1)

Ta có  là giao điểm của  và

Mà ,  nên

 (2)

Từ (1) và (2) có

Câu 5: Cho hình chóp , đáy  là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm  thuộc cạnh .

1. a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:và
2. b) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:và
3. c) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:và
4. d) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳngvà

Giải:

1. a) Gọi

Lại có .

1. b) .

Và

1. c) Trong gọi

Và

1. d) Trong gọi , ta có .

Câu 6: Cho tứ diện ,  là một điểm thuộc miền trong tam giác ,  là điểm trên đoạn .

1. a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng với các mặt phẳng .
2. b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng với các mặt phẳng .
3. c) Gọi là các điểm tương ứng trên các cạnh và  sao cho  không song song với . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  và .

Giải:

1. a) Trong gọi , trong gọi

Lại có .

1. b) Tương tự, trong gọi , trong gọi

 là điểm chung thứ hai của  và  nên .

1. c) Trong gọi , ; trong gọi .

Có ,

Mà  

Câu 7: Cho tứ diện . Trên  và  lấy các điểm  và  sao cho  cắt  tại , cắt  tại ,  cắt  tại . Chứng minh  thẳng hàng.

Giải:

Ta có .

Tương tự

Từ (1),(2) và (3) ta có  là điểm chung của hai mặt phẳng  và  nên chúng thẳng hàng.

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho tứ diện  có  lần lượt là trung điểm của  và  là trọng tâm của tam giác . Mặt phẳng  đi qua  cắt  lần lượt tại . Một mặt phẳng  đi qua  cắt  tương ứng tại  và . Gọi .  Chứng minh  thẳng hàng.

Giải:

Ta có , (1)

Từ (1),(2),(3) và (4) ta có  là điểm chung của hai mặt phẳng  và  nên chúng thẳng hàng.

Câu 2: Cho tứ giác và . Gọi I, J là hai điểm trên AD và SB, AD cắt BC tại O và OJ cắt SCtại M. Xác định các giao điểm K, L của IJ và DJ với . Chứng minh A, K, L, M thẳng hàng.

Giải:

* Tìmgiao điểm

• Chọn mp phụ
• Tìmgiao tuyến của và , S là điểm chung của và . Trong , gọi
• Trong , gọimà

Vậy:

* Xác địnhgiao điểm

• Chọn mp phụ
• Tìmgiao tuyến của và , S là điểm chung của và

Trong , gọi

Trong , gọimà

Vậy:

* Chứng minh A,K,L,Mthẳng hàng

Ta có:A là điểm chung của và

• mà
• mà

Þ Klà điểm chung của và

mà

mà

Þ Llà điểm chung của và

mà

mà

Þ M là điểm chung của và

Vậy: Bốn điểm A,K,L,M thẳng hàng

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác , có đáy là hình thang với  là đáy lớn và  là một điểm trên cạnh .

1. a) Xác định giao tuyến của các mặt của hình chóp với mặt phẳng .
2. b) Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Xác định giao tuyến của các mặt của hình chóp với.

Giải:

a)

Trong mặt phẳng , gọi .

Trong mặt phẳng  gọi .

Ta có  nên , do đó .

Vậy ; ; ; ; .

b)

Trong mặt phẳng  gọi  lần lượt là các giao điểm của  với  và

Trong mặt phẳng  gọi

Trong mặt phẳng  gọi .

Ta có ,

Vậy

Tương tự .

Vậy ; ; ; ;

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho tứ diện đều  có các cạnh bằng . Gọi  là trung điểm , là điểm thuộc cạnh  sao cho  là điểm thuộc cạnh  sao cho . Tính độ dài đoạn giao tuyến của mặt phẳng  với mặt phẳng  của hình chóp  theo .

Giải:

Trong mp , gọi .

Trong mp, gọi .

Khi đó .

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác  với ba điểm  thẳng hàng ta có:

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác  với ba điểm  thẳng hàng ta có:

Áp dụng định lý cosin vào tam giác  ta có:

Câu 2: Cho tứ diện  có  lần lượt là trung điểm của  và  là điểm thuộc cạnh  ( không là trung điểm  ). Gọi  là giao điểm của  với  là giao điểm của  với . Chứng minh .

Giải:

Trong mp , gọi  (P không phải là trung điểm đoạn BC nên MP cắt AC)

Trong mp, gọi

Do  nên

Ta có:

do  đồng phẳng nên

(Do M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD).Từ đây suy ra

Giả sử . Khi đó ta suy ra

Suy ra

Do J là trung điểm của PQ.

Ta có:

Chứng minh tương tự ta cũng có:

Từ (1,2,3) suy ra . Điều này dẫn đến M, N, J thẳng hàng. Như vậy I trùng J.

Điều này suy ra .

Câu 3: Cho tứ diện  có cạnh bằng a. Trên tia đối của các tia CB, DA lần lượt lấy các điểm E, F sao cho . Gọi M là trung điểm của đoạn  Diện tích của hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt (ABC), (ACD), (ABD) của tứ diện  với mặt phẳng  là bao nhiêu?

Giải:

Trong mặt phẳng , gọi  là giao điểm của  với .

Trong mặt phẳng , gọi  là giao điểm của  và .

Ta có: .

+ Tính diện tích tam giác .

Dễ thấy  lần lượt là trọng tâm của các tam giác  và .

Ta có: .

Xét hai tam giác  và  có  chung,  nên hai tam giác này bằng nhau. Suy ra . Vậy tam giác  cân tại .

Áp dụng định lí cosin trong tam giác :

.

Gọi  là trung điểm của đoạn . Ta có .

Suy ra: .

Diện tích thiết diện  là: .