BÀI 13: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho hình lăng trụ . Gọi  là trung điểm của . Chứng minh đường thẳng  song song với mặt phẳng .

Giải:

Gọi H’ là trung điểm của AB thì ta có:

Do đó

Câu 2: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi  lần lượt là trung điểm của .

1. a) Chứng minh rằng .
2. b) Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh .

Giải:

1. a) Ta có là đường trung bình trong tam giác .

Mặt khác  và  lần lượt là trung điểm của  và  nên  là đường trung bình trong .

Ta có: .

1. b) Do và lần lượt là trung điểm của  và  nên .

Lại có .

Do vậy .

Câu 3: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi  lần lượt là trung điểm của  và .

1. a) Chứng minh rằng .
2. b) Gọi là trung điểm của là một điểm trên  và cách đều . Chứng minh rằng .

Giải:

1. a) Ta có và lần lượt là trung điểm của  và  nên  là đường trung bình trong

Tương tự  là đường trung bình trong tam giác  nên .

Lại có: .

1. b) Ta có và lần lượt là trung điểm của  và  thì  là đường thẳng cách đều  và  do vậy điểm , Do  là đường trung bình của  nên .

Ta có:

Mặt khác .

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC. Chứng minh rằng .

Giải:

Áp dụng tính chất đường trung bình: MN // AB, MP // AC.

Vậy .

Câu 5:

Cho hình chóp  có đáylà hình bình hành tâm , gọi  lần lượt là trung điểm của . Chứng minh

Giải:

Ta có  lần lượt là trung điểm của  nên  là đường trung bình của tam giác  ứng với cạnh do đó .

Vậy .

Tương tự, Ta có  lần lượt là trung điểm của  nên  là đường trung bình của tam giác  ứng với cạnh do đó .

Vậy

Từ  và  ta có .

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho hình chóp  có đáy là hình bình hành. Gọi  là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng: .
b) Chứng minh rằng: .

1. c) Gọi là giao điểm của và  là điểm thuộc  sao cho . Chứng minh .

Giải:

1. a) Ta có là đường trung bình trong

Suy ra .

Tương tự ta có .

(hai mặt phẳng có cặp cạnh song song cắt nhau). b) Ta có: .

Lại có .

1. c) Do

Theo định lý Talet ta có:

Mặt khác: .

Do  suy ra .

Câu 2: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi  lần lượt là trung điểm của  và .
a) Chứng minh rằng .
b) Tìm giao điểm  của  và .
c) Gọi  là trọng tâm của . Chứng minh rằng .
d) Gọi  là trung điểm , chứng minh rằng .

Giải:

1. a) Ta có: là đường trung bình trong tam giác suy ra .

Lại có:  là đường trung bình trong tam giác  nên .

Do vậy .

1. b) Trong mặt phẳng gọi khi đó  chính là giao điểm của  và .
2. c) Dễ thấy lần lượt là trọng tâm tam giác do đó

.

1. d) Do và lần lượt là trung điểm của  và  nên  (tính chất đường trung bình).

Mặt khác  và  lần lượt là trung điểm của  và  nên .

Do vậy .

Câu 3: Cho hai hình vuông  và  ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo  và  lần lượt lấy các điểm  sao cho . Các đường thẳng song song với  vẽ từ  lần lượt cắt  và  tại  và . Chứng minh:

1. a) .
2. b) .

Giải:

1. a) Ta có

Tương tự .

Mà .

1. b) Vì và là các hìnhvuông nên .

Ta có

Từ , và ta được

.

Lại có .

Vậy .

Câu 4: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi  lần lượt là trung điểm của  và , lấy điểm .
a) Tìm giao tuyến  và .
b) Tìm giao điểm  và .
c) Hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt bên của hình chóp và mặt phẳng (MNP) là hình gì?
d) Gọi . Chứng minh rằng .

Giải:

1. a) Do song song với nên giao tuyến của  và  là đường thẳng  đi qua  và song song với  và .
2. b) Trong măt phẳng , kéo dài cắt tại , trong mặt phẳng , kéo dài  cắt  tại , giao điểm của  và  là .
3. c) Hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt hình chóp và mặt phẳng (MNP) là tứ giác .

Do 3 mặt phẳng  cắt nhau theo 3 giao tuyến là  nên chúng song song hoặc đồng quy.

Mặt khác  là hình thang.

1. d) Ta có: là đường trung bình trong tam giác .

Tương tự ta có: .

Mặt khác .

Câu 5: Cho hình chóp  có đáy là hình bình hành. Gọi  là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng .
b) Chứng minh rằng .
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  và .
d) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  và .

Giải:

1. a) Ta có là đường trung bình của hình bình hành nên .

Lại có  là đường trung bình tam giác .

Từ  và  suy ra .

1. b) Gọi là trung điểm của thì .

Mặt khác  là đường trung bình của tam giác  nên .

Ta có .

1. c) Trong mặt phẳng gọi .

Ta có:  nên giao tuyến của hai mặt phẳng  và  song song với .

Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng  và  là đường thẳng đi qua  và song song Với .

1. d) Gọi là trung điểm của thì  (tính chất đường trung bình)

Suy ra  đồng phẳng.

Trong mặt phẳng  gọi .

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng  và  là .

Câu 6: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi  lần lượt là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng .
b) Tìm giao tuyến  và .
c) Tìm giao tuyến của  và . Suy ra giao điểm của  và . d) Gọi . Chứng minh rằng .

Giải:

1. a) Ta có là đường trung bình trong tam giác nên .

Tương tự  là đường trung bình trong tam giác  nên .

Do vậy .

1. b) Do nên giao tuyến của và  đi qua  và song song với  và .
2. c) Gọi .

Do  nên giao tuyến  của  và  đi qua  và song song với .

Trong mặt phẳng  gọi .

1. d) Ta có: do đó lần lượt là trọng tâm tam giác  và

Khi đó .

Câu 7: Cho hình chóp , có đáy là hình vuông cạnh , tam giác  đều. Gọi  là điểm trên cạnh  sao cho . Mặt phẳng  đi qua  và song song với  lần lượt cắt các cạnh  tại . Tìm  dể diện tích  bằng .

Giải:

Theo định lý Talet ta có:

 Mặt khác

Suy ra  và tứ giác  là hình thang cân. Chiều cao hình thang cân này là

Diện tích hình thang là

.

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho tứ diện  và  là các điểm thay trên các cạnh  sao cho .

1. a) Chứng minh luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.
2. b) Cho và là một điểm trên cạnh . Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt của tứ diện với mặt phẳng .
3. c) Tính theo tỉ số diện tích tam giác và diện tích hình tạo bởi các giao tuyến ở câu b.

Giải:

1. a) Do nên theo định lí Thales thì các đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng .Gọi  là mặt phẳng đi qua  và song song với thì  cố định và suy ra  luôn song song với  cố định.
2. b) Xét trường hợp , lúc này nên .

Ta có:

.

Thiết diện là tứ giác .Xét trường hợp

Trong gọi

Trong  gọi  thì thiết diện là tứ giác .

Gọi

Ta có .

Do  nên theo định lí Thales đảo thì  lần lượt thuộc ba mặt phẳng song song với nhau và đường thẳng  cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại  nên áp dụng định lí Thales ta được .

Câu 2: Cho hình hộp  có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh . Các điểm  lần lượt trên  sao cho  .

1. a) Chứng minh khi biến thiên, đường thẳng luôn song song với một mặt phẳng cố định.
2. b) Chứng minh khi thì .

Giải:

1. a) Gọi là mặt phẳng qua và song song với . Gọi  là mặt phẳng qua  và song song với . Giả sử  cắt  tại điểm .

Theo định lí Thales ta có

Vì các mặt của hình hộp là hình vuuong cạnh  nên .

Từ  ta có , mà .

Mà .

Vậy  luôn song song với mặt phẳng cố định .

1. b) Gọi . Ta có

 suy ra  là trọng tâm của tam giác .

Tương tự  là trọng tâm của tam giác .

Gọi  là trung điểm của  ta có .

Câu 3: Cho hình lập phương  cạnh . Gọi  là trung điểm của  là tâm hình vuông . Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt phẳng (ABCD), (A’ABB’), (A’D’DA), (CDD’C’) với mặt phẳng .

Giải:

Gọi  thì  là trung điểm của , nối  cắt  và  lần lượt tại các điểm  và . Khi đó hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác .

Do  nên  là trọng tâm tam giác  nên

Ta có:

Lại có:  nên

(Áp dụng hệ thức Herong cho tam giác EGC)

Suy ra .

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho hình chóp  đáy là hình thang, đáy lớn . Mặt bên  là tam giác đều. Mặt phẳng  qua điểm  trên cạnh  và song song với các cạnh  và . Mặt phẳng  cắt  lần lượt tại . Đặt . Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt phẳng (SAB), (ABCD), SCD), SBC) với mặt phẳng Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.

Giải:

 qua điểm  và song song với các cạnh

suy ra .

Hình tạo bởi các giao tuyến là: MQPN.

Ta có  mà

Suy ra

Do đó  và

Lại có

Ta có :  và

Gọi  là trung điểm của

Trong đó .

Chiều cao hình tạo bởi các giao tuyến là:

Diện tích

Lại có:

Do đó .

Câu 2: Cho hình hộp . Trên cạnh  lấy điểm  khác  và . Gọi  là mặt phẳng đi qua  và song song với mặt phẳng . Đặt . Tìm  để hình tạo bởi các giao tuyến các mặt của hình hộp với mặt phẳng  có diện tích lớn nhất.

Giải:

Ta có:

Ta dựng

Dựng  (xem hình vẽ)

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là ngũ giác .

Giả sử , tứ giác  đều là các hình thang cân.

Ta có:

+)

+)

Ta có:

Tương tự ta có:

Do đó diện tích là  đạt giá trị lớn nhất khi .