BÀI 11: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho hình chóp  có đáy  là hình bình hành.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  và .

Giải:

Ta có

.

Câu 2:

1. a) Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b và điểm M ở ngoài a và ngoài b. Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng qua M và cắt cả a và b?
2. b) Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c chéo nhau từng đôi một. Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy?

Giải:

1. a) Mặt phẳng đi qua M và chứa a cắt mặt đường thẳng b tại B, mặt phẳng đi qua M chứa b cắt đường thẳng a tại A. Khi đó đường thẳng duy nhất cần tìm là đường thẳng qua 3 điểm M, A, B .
2. b) Gọi M là đường thẳng nằm trên c, mặt phẳng đi qua M và chứa a cắt mặt đường thẳng b tại B , mặt phẳng đi qua M chứa b cắt đường thẳng a tại A khi đó đường thẳng AB cắt cả 3 đường thẳng a, b, c. Có vô số điểm M như thế nên có vô số đường thẳng cần tìm.

Câu 3:

1. a) Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến trong đó song song với . Khi đó vị trí tương đối của  và  là gì?
2. b) Trong không gian, cho đường thẳng và điểm O không nằm trong . Qua O có mấy đường thẳng song song với ?

Giải:

1. a) Giả sử d₁ cắt d₂ tại M khi đó đường thẳng d₃ không nằm trong mặt phẳng (d₁; d₂) và cắt cả d₁ và d₂ nên d_3­ cắt mặt phẳng (d₁; d₂) tại M hay ba đường thẳng đó đồng quy.
2. b) Qua O không thuộc đường thẳng thì có duy nhất một đường thẳng song song với .

Câu 4:

1. a) Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau. Có thể có bao nhiêu đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho.
2. b) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy điểm A, B thuộc a và C, D thuộc b. Khi đó hai đường thẳng AD và BC có vị trí như thế nào với nhau?

Giải:

1. a) Gọi M là đường thẳng nằm trên c, mặt phẳng đi qua M và chứa a cắt mặt đường thẳng b tại B, mặt phẳng đi qua M chứa b cắt đường thẳng a tại 4 khi đó đường thẳng AB cắt cả 3 đường thẳng a,b,c . Có vô số điểm M như thế nên có vô số đường thẳng cắt 3 đường thẳng đã cho.
2. b) Do a,b chéo nhau nên A,B,C,D là 4 đỉnh của 1 tứ diện do đó AD và BC chéo nhau.

Câu 5: Cho hình chóp  có đáy  là hình thang với các cạnh đáy là  và . Gọi  lần lượt là trung điểm của các cạnh  và  và  là trọng tâm của tam giác . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  và .

Giải:

Ta có  là hình thang và  là trung điểm của  nên .

Vậy 

  với  .

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho hình chóp  đáy là hình bình hành. a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng  và  và .

1. b) Lấy thuộc . Tìm giao điểm của  và . Tứ giác  là hình gì?

Giải:

1. a) Trong dựng đường thằng đi qua  và song song với .

Ta có: .

Suy ra  thuộc .

Nên  là giao tuyến của  và .

Tương tự, trong  dựng đường thẳng  đi qua , song song với  thì  là giao tuyến của  với .

1. b) Giả sử

Xét ba mặt phẳng  lần lượt cắt nhau theo 3 giao tuyến là  nên chúng song song hoặc đồng quy.

Mà  là hình thang.

Câu 2: Cho hình chóp  đáy là hình thang (  là đáy lớn). Gọi  lần lượt là trung điểm của .

1. a) Tìm giao tuyến và và .
2. b) Tìm giao điểm của và .
3. c) Tìm giao điểm của và .
4. d) Tứ giác IPKJ là hình gì?

Giải:

1. a) Do giao tuyến của và  đi qua điểm  và song song với  và .

Giả sử  với .

Ba mặt phẳng  và  lần lượt cắt nhau theo 3 giao tuyến là  và  nên chúng song song hoặc đồng quy.

Mặt khác .

1. b) Do mà là trung điểm của . Khi đó  là đường trung bình trong tam giác  suy ra  không cắt .
2. c) Chứng minh ở câu b, ta có trùng với tức là  là trung điểm .
3. d) Có (chứng minh trên) suy ra tứ giác là hình thang.

Câu 3: Cho hình chóp , đáy là bình hành. Gọi  lần lượt là trung điểm của , .

1. a) Tìm giao tuyến của và .
2. b) Tìm giao điểm của và .
3. c) Tìm giao điểm của và .
4. d) Tìm giao tuyến của và

Giải:

1. a) Do (tính chất đường trung bình) nên giao tuyến của và  phải là .

Do đó  qua  và song song với  nên  là đường trung bình tam giác . Gọi  là trung điểm  thì  là giao tuyến cần tìm.

1. b) Ta có

Suy ra  là giao điểm của  và .

1. c) Trong , gọi là giao điểm của và .

Ta có

Vậy  là giao điểm của  với .

1. d) Gọi là giao điểm của và .

Trong  có  là đường trung bình tam giác .

Gọi

Câu 4: Cho hình chóp  có đáy là hình bình hành. Gọi  là các điểm lần lượt nằm trên  sao cho

1. a) Chứng minh .
2. b) Gọi . Chứng minh .
3. c) Qua dựng các đường thẳng . Tìm và .

Giải:

1. a) Ta có:

Tương tự ta có  và

Từ (1) và (2) suy ra .

1. b) Hai mặt phẳng và có 2 điểm chung là  và  nên

Mặt khác 3 mặt phẳng  và  đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến là

mà  nên 3 giao tuyến nay đôi một song song hay .

1. c) Trong mặt phẳng , gọi

Trong mặt phẳng  dựng  cắt  tại  thì .

Tương tự trong mặt phẳng  dựng  cắt  tại  thì .

Câu 5: Cho hình chóp  có đáy là hình bình hành, gọi  lần lượt nằm trên ,  sao cho .

1. a) Chứng minh rằng: .
2. b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng: .

Giải:

1. a) Ta có:

Lại có:  (2). (Định lý Ta-let)

Từ (1) và (2) suy ra .

1. b) Xét 3 mặt phẳng và cắt nhau theo các giao tuyến là .

Suy ra  song song hoặc đồng quy.

Mặt khác .

Câu 6: Cho tứ diện . Gọi  lần lượt là trung điểm của .

1. a) Chứng minh là hình bình hành.
2. b) Từ đó suy ra ba đoạn cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Giải:

1. a) Vì là đường trung bình của tam giác nên ta có

Tương tự ta cũng có:

Do vậy  là hình bình hành từ đó suy ra  và  cắt nhau tại trung điểm  của mỗi đường.

1. b) Tương tự chứng minh trên ta cũng có tứ giác RNSM cũng là hình bình hành do có suy ra và  cũng cắt nhau tại trung điểm  của .

Vậy ba đoạn  cắt nhau tại trung điểm  của mỗi đoạn.

Câu 7: Cho hình chóp , có đáy là hình thang với đáy lớn . Gọi  lần lượt là trung điểm của  và .

1. a) Chứng minh:
2. b) Tìm giao điểm của với . Kéo dài  và  cắt nhau tại .

Chứng minh . Tứ giác  là hình gì? Vì sao?

Giải:

1. a) Ta có là đường trung bình của tam giác nên  mặt khác .
2. b) Gọi và khi đó  cắt  tại .

Xét 3 mặt phẳng  và  có các giao tuyến chung là  và  song song hoặc đồng quy.

Do  nên .

Ta có:

Khi đó:  là hình bình hành.

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho hình chóp  có đáy  là một tứ giác lồi. Gọi  lần lượt là trung điểm của các cạnh bên  và .

1. a) Chứng minh đồng qui (là giao điểm của  và ).
2. b) Bốn điểm đồng phẳng.

Giải:

1. a) Trong gọi , dễ thấy là trung điểm của , suy ra  là đường trung bình của tam giác .

Vậy .

Tương tự ta có  nên  thẳng hàng hay .

Vậy minh  đồng quy.

1. b) Do nên và  xác định một mặt phẳng. Suy ra   đồng phẳng.

Câu 2: Cho hình chóp  có đáy  là hình chữ nhật. Gọi  lần lượt là trọng tâm các tam giác  và . Chứng minh:

1. a) Bốn điểm đồng phẳng.
2. b) Ba đường thẳng đồng qui (là giao điểm của  và ).

Giải:

1. a) Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và .

Ta có

.

Tương tự

Lại có  

Từ  và  suy ra .

Vậy bốn điểm  đồng phẳng.

1. b) Dễ thấy cũng là hình bình hành và .

Xét ba mặt phẳng  và  ta có :

.

Do đó theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng  đồng quy.

Câu 3: Cho tứ diện đều , cạnh . Gọi  lần lượt là trung điểm của , gọi  là một điểm trên cạnh  với .

1. a) Xác định giao tuyển của với mặt phẳng . Hình tạo bởi các đường giao tuyển của các mặt của tứ diện với mặt phẳng là hình gì?
2. b) Tính diện tích của hình xác định được ở câu a.

Giải:

1. a) Do là đường trung bình của tam giác nên  và

Do  nên giao tuyến của  với mặt phẳng  song song với

Qua  dựng  với  thì giao tuyến của  với mặt phẳng  là đường thẳng KN.

+) Hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt của tứ diện với mặt  là tứ giác  có  là hình thang.

1. b) Ta có

Lại có  ,

tương tự

Chiều cao của hình thang cân IJKN là

Diện tích tứ giác là .

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho hình chóp  có đáy  là một hình thang với đáy  và . Biết . Gọi  và  lần lượt là trọng tâm các tam giác  và . Mặt phẳng  cắt  lần lượt tại . Mặt phẳng  cắt  tại .

1. a) Chứng minh song sonng với .
2. b) Giải sử cắt tại ;  cắt  tại . Chứng minh  song song với  và . Tính  theo .

Giải:

1. a) Ta có .

Vậy

Tương tự

Vậy

Từ  và  suy ra .

1. b) Ta có ;

Do đó . Mà .

Tính : Gọi

Ta có ,

Mà .

Từ suy ra

Tương tự . Vậy .

Câu 2: Cho hình chóp  là một điểm nằm trong tam giác . Qua  dựng các đường thẳng lần lượt song song với  và cắt các mặt phẳng  theo thứ tự tại các điểm .

1. a) Chứng minh tổng có giá tri không đổi khi di động bên trong tam giác .
2. b) Xác định vị trí của để tích có giá trị lớn nhất.

Giải:

1. a) Gọi

Trong mặt phẳng , dựng  cắt  tại

Tương tự dựng  cắt  tại , dựng  cắt  tại .

Ta có:  định lý Talet

Tương tự  và

Khi đó

Vậy  có giá trị không đổi khi  di động bên trong tam giác .

1. b) Ta có

Do đó  có giá trị lớn nhất là  khi

Suy ra  suy ra  là trọng tâm tam giác .