BÀI 21. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT (25 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (7 BÀI)

Bài 1: Giải phương trình

Đáp án:

Bài 2: Giải phương trình

Đáp án:

Bài 3: Giải phương trình

Đáp án:

Bài 4: Giải phương trình

Đáp án:

Bài 5: Giải phương trình

Đáp án:

Bài 6: Giải phương trình

Đáp án:

Bài 7: Giải phương trình

Đáp án:

2. THÔNG HIỂU (5 BÀI)

Bài 1: Giải phương trình

Đáp án:

Bài 2: Nghiệm của phương trình  là bao nhiêu?

Đáp án:

Bài 3: Giải phương trình  

Đáp án:

Bài 4: Tìm nghiệm của phương trình

Đáp án:

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 3.

Bài 5: Phương trình  có tổng tất cả các nghiệm bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Ta có

Vậy x =

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là:

3. VẬN DỤNG (6 BÀI)

Bài 1: Có bao nhiêu số nguyên dương  sao cho ứng với mỗi  có không quá 10 số nguyên  thỏa mãn

Đáp án:

Cách 1:

Ta có: . Gọi  (*)

+Trường hợp 1:

+Trường hợp 2: 

Theo đề bài, ứng với mỗi số nguyên dương  có không quá 10 số nguyên  thỏa mãn bất phương trình (*) tương đương với tập nghiệm  chứa không quá 10 số nguyên, nghĩa là:

Vậy có tất cả 1024 giá trị  thỏa mãn yêu cầu đề.

Cách 2:

Đặt  thì ta có bất phương trình  hay

Vì  nên , do đó

Nếu  thì  đều là nghiệm nên không thỏa yêu vầu bài toán. Suy ra  hay , mà   nên

Bài 2: Giả sử  là cặp nghiệm nguyên không âm có tổng  lớn nhất của bất phương trình , giá trị của  bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Ta có .

Vì  nên bất phương trình tương đương với .

Với cặp số  nguyên không âm thì  chỉ có thể là: .

Vậy tổng .

Bài 3: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  thỏa mãn  và

Đáp án:

Ta có .

Xét hàm số đặc trưng  với .

Ta có  suy ra  là hàm số đồng biến trên .

Suy ra .

Với giả thiết  ta có: .

TH1:  có 8 cặp nghiệm  thỏa mãn.

TH2:  có 2 cặp nghiệm  thỏa mãn.

Vậy có tất cả 10 cặp nghiệm  thỏa mãn.

Bài 4: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số  và đường thẳng .

Đáp án:

Phương trình hoành độ giao điểm:

.

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là .

Bài 5: Tính tổng  tất cả các nghiệm của phương trình .

Đáp án:

Ta có

Bài 6: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  thỏa mãn

Đáp án:

 (vì  nguyên dương).

 nguyên dương nên .

Với  có 4 cặp  thỏa mãn.

Với  có 3 cặp  thỏa mãn.

Với  có 1 cặp  thỏa mãn.

4. VẬN DỤNG CAO (7 BÀI)

Bài 1: Cho phương trình . Khi đặt , ta được:

Đáp án:

 Ta có

Khi đặt , thay vào phương trình ta được .

Bài 2: Tính  là tích tất cả các nghiệm của phương trình

Đáp án:

Phương trình .

Đặt  Phương trình trở thành  hoặc .

Với

Với

Vậy

Bài 3: Tính  là tổng bình phương tất cả các nghiệm

của phương trình

Đáp án:

Ta có .

Đặt . Phương trình trở thành

Bài 4: Tập các cặp số nguyên dương  thỏa mãn điều kiện

Đáp án:

Có . (1)

Vì  nguyên dương nên

Với  có  có 3 cặp  thỏa mãn.

Với  có  có 2 cặp  thỏa mãn.

Với  có  có 1 cặp  thỏa mãn.

Vậy có tất cả 6 cặp  thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 5: Biết  là cặp nghiệm nguyên của bất phương trình  thỏa mãn , hỏi hiệu số  lớn nhất bằng bao nhiêu:

Đáp án:

Điều kiện .

Suy ra

Suy ra

Theo giả thiết  suy ra .

Với .

Với .

Trong các cặp  ta thấy hiệu  là lớn nhất..

Bài 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số  để tập nghiệm của bất phương trình  chứa không quá 9 số nguyên?

Đáp án:

Gọi  (1)

Đặt bất phương trình (1) trở thành

+ Nếu  thì không có số nguyên dương  nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ Nếu  thì bất phương trình .

Khi đó tập nghiệm của bất phương trình  là .

Để  chứa không quá 9 số nguyên thì

Vậy có 3280 số nguyên dương thỏa mãn.

Bài 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số  để bất phương trình  có 5 nghiệm nguyên?

Đáp án:

Gọi  (1)

Trường hợp 1: Xét .

Khi đó,

Nếu  thì vô nghiệm.

Nếu  thì .

Do đó, để bất phương trình có 5 nghiệm nguyên

thì tập hợp  có 5 giá trị nguyên

.

Suy ra có 65024 giá trị  nguyên thỏa mãn.

Trường hợp 2: Xét . Vì  chỉ có hai số nguyên nên không có giá trị  nào để bất phương trình có 5 nghiệm nguyên.

Vậy có tất cả 65024 giá trị  nguyên thỏa yêu cầu bài toán.