BÀI 23. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG (20 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (5 BÀI)

Bài 1: Trong không gian cho đường thẳng  và điểm . Qua  có mấy đường thẳng vuông góc với Ä cho trước?

Đáp án:

Qua điểm  có thể dựng vô số đường thẳng vuông góc với , các đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với .

Bài 2: Qua điểm  cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng  cho trước?

Đáp án:

Qua điểm  cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng  cho trước?

Bài 3: Cho hình chóp  có  và tam giác  vuông tại . Vẽ , . Điểm H nằm ở vị trí nào?

Đáp án:

Do  nên . Suy ra  là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Mà  vuông tại  nên  là trung điểm của .

Bài 4: Cho hình chóp  thỏa mãn. Tam giác  vuông tại. Gọi  là hình chiếu vuông góc của  lên. Tìm giao của mặt phẳng (SAH) và mặt phẳng (SCH).

Đáp án:

Bài 5: Cho hình chóp  có các cạnh bên bằng nhau . Gọi  là hình chiếu của  lên mặt đáy .

Chứng minh .

Đáp án:

Vì hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

 và  là hình chiếu của  lên mặt đáy

Nên  tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

Suy ra .

2. THÔNG HIỂU (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và cạnh SA vuông góc với các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng BC ⊥ (SAB).

Đáp án:

Vì SA vuông góc với hai đường thẳng AB và AC nên SA ⊥ (ABC). Suy ra SA ⊥ BC.

Tam giác ABC vuông tại B nên BC ⊥ BA.

Vì BC vuông góc với hai đường thẳng SA và BA nên BC ⊥ (SAB)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, SA = SC và SB = SD. Chứng minh rằng SO ⊥ (ABCD).

Đáp án:

Vì ABCD là hình bình hành nên OA = OC và OB = OD.

Từ SA = SC và SB = SD, ta có

Tương tự, từ SA = SC và SB = SD, ta có

Do đó,

Mà

Từ đó suy ra ⊥ (ABCD).

Bài 3: Cho tứ diện  có là tam giác vuông tại  và . Chứng minh .

Đáp án:

Ta có  nên .

Do đó  

Bài 4: Cho tứ diện  có là tam giác vuông tại  và . Gọi  là đường cao của tam giác . Chứng minh .

Đáp án:

Ta có

Vậy

Bài 5: Cho tứ diện  có  và .  Chứng minh .

Đáp án:

Gọi  là trung điểm của . Khi đó ta có .

3. VẬN DỤNG (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp  có  và  Số các mặt của tứ diện  là tam giác vuông là bao nhiêu?

Đáp án:

Có  là tam giác vuông tại

Ta có  là các tam giác vuông tại  

Mặt khác  là tam giác vuông tại

Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông

Bài 2: Cho hình chóp  có đáy  là hình thoi tâm . Biết  và .  có vuông góc với  hay không?

Đáp án:

Tam giác  cân tại  có  là trung tuyến

 cũng là đường cao .

Tam giác  cân tại  có  là trung tuyến

  cũng là đường cao .

Từ đó suy ra .

Do  là hình thoi nên  không vuông góc với . Do đó  không vuông góc với .

Bài 3: Cho tứ diện  thoả mãn  Gọi  là hình chiếu của  lên mp  Đối với  ta có điểm  nằm ở đâu?

Đáp án:

Xét ba tam giác vuông  có

 chính là tâm đường tròn ngoại tiếp  

Bài 4: Cho hình chóp  có  Gọi  lần lượt là trực tâm các tam giác  và. Chứng minh

Đáp án:

Ta có 

Ta có  

Mặt khác có  hay , tương tự  nên

 Gọi  là giao điểm của  và . Do  hay đường thẳng  trùng với đường thẳng . Hay  đồng quy.

 Do đó

Bài 5: Cho hai hình chữ nhật  và  nằm trong hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường thẳng  và  vuông góc với nhau. Gọi  và  lần lượt là đường cao của hai tam giác  và . Chứng minh rằng  vuông tại .

Đáp án:

Ta có

..

Vậy

, hay  vuông tại .

Tương tự

 vuông tại .

4. VẬN DỤNG CAO (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình lập phương. Gọi  là góc giữa  và mp  Tính tan.

Đáp án:

Gọi  

mà  là hình chiếu vuông góc của  lên

 là góc giữa  và  Mà  

Bài 2: Cho hình chóp  thỏa mãn . Gọi  là hình chiếu vuông góc của  lên . Tìm vị trí của H.

Đáp án:

Do hình chóp  có và  nên  là trục của hình chóp .

. Nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Bài 3: Cho hình chóp  có đáy  là tam giác vuông cạnh huyền . Hình chiếu vuông góc của  lên  trùng với trung điểm . Biết . Tính số đo của góc giữa  và .

Đáp án:

Có  nên  là hình chiếu của  lên

.

Áp dụng định lý Pytago

Xét tam giác  có

 .

Bài 4: Cho hình chóp  có đáy  là tam giác đều cạnh  và . Gọi  là trọng tâm . Tính độ dài

Đáp án:

Theo bài ra hình chóp là hình chóp tam giác đều. Gọi  là trung điểm của , ta có .

Mặt khác ta có:   

Bài 5: Cho tứ diện  có hai mặt  và  là hai tam giác đều cạnh   là điểm trên  sao cho   là mặt phẳng qua và vuông góc với  Thiết diện của  và tứ diện  có diện tích bằng?

Đáp án:

Gọi  là trung điểm của .

Theo bài ra .

Kẻ  Thiết diện của  và tứ diện  là

 là hai tam giác đều cạnh  là tam giác đều cạnh  là tam giác đều cạnh