Bài tập file word toán 7 cánh diều Chương 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

BÀI 10: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Cho  có G là trọng tâm tam giác, N là trung điểm AC. So sánh BG và BN

Đáp án:

 có G là trọng tâm

Bài 2: Cho  có G là trọng tâm tam giác ABC, BG cắt AC tại M. Chứng minh MA = MC.

Đáp án:

Xét  có G là trọng tâm

 BG là đường trung tuyến

 là trung điểm của cạnh AC

Bài 3: Cho hình vẽ sau. Hãy tính tỉ số

Đáp án:

Ta có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến cắt nhau tại G

 G là trọng tâm của tam giác ABC

Bài 4: Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và trọng tâm G. Tính độ dài đoạn thẳng AG

Đáp án:

Xét  có G là trọng tâm và AM là đường trung tuyến

 mà AM = 9cm

Bài 5: Cho hình vẽ sau:

So sánh AG và GD

Đáp án:

Ta có AD, BE và CF là ba đường trung tuyến của ABC và chúng cắt nhau tại G

 G là trọng tâm của ABC

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác, ta có:

Bài 6: Tam giác ABC có trung tuyến AM = 12cm và trọng tâm G. Tính độ dài đoạn AG?

Đáp án:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên .

cm

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Bài 1: Cho ΔABC không cân, có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. So sánh AG và GM

Đáp án:

Do hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G nên ta có:

Mà AG + GM = AM nên

Vậy AG = 2GM

Bài 2: Cho tam giác ABC đều có G là trọng tâm. Chứng minh GA = GB = GC

Đáp án:

a, Các tia AG, BG, CG cắt BC, AC và AB lần lượt tại D, E, F

 D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC và AB

Mà BC = AC = AB (tam giác ABC đều)

Xét  và , ta có:

AB = AC

 chung

AE = AF

 =  (c.g.c)

 (2 cạnh tương ứng)

Cmtt có  =  (c.g.c)

Ta có G là trọng tâm tam giác ABC (gt)

Mà  (cmt)

Bài 3: Chứng minh rằng ba đường trung tuyến chia tam giác thành 6 phần có diện tích bằng nhau.

Đáp án:

Xét tam giác ABC có các đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G. Do DB = DC nên S₁ = S₂.

Tương tự, S₃ = S₄ và S₅ = S₆. Ta có

Nên . Từ đó S₁ = S₂ = S_{3 =} S₄ = S₅ = S_6.

Bài 4: Chứng minh rằng: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

Đáp án:

Ta gọi  là hai trung tuyến của    là trung điểm của

Tương tự

Mà

Xét  và  có

 : chung;  (cmt)

Do đó  (c.g.c)  (cạnh tương ứng)

Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Đáp án:

Gọi  là trọng tâm của

Theo tính chất trọng tâm ta có

tương tự

Mà

Và

Xét  và  CGD có

Lại có  lần lượt là trung điểm của  và .

Do đó  chứng tỏ  cân tại .

3. VẬN DỤNG (7 câu)

Bài 1: Cho hai đoạn thoẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Đoạn thẳng AM, AN cắt BD lần lượt tại I và K. Chứng minh:

a, I là trọng tâm  và K là trọng tâm

b, BI = IK = KD

Đáp án:

a, ABC có hai đường trung tuyến BO và AM cắt nhau tại I

là trọng tâm của ABC

CMTT ta có K là trọng tâm của ADC

b, là trọng tâm của ABC (cmt)

Mà BO = OD (gt)

Bài 2: Cho tam giác  vuông tại A, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA

a, Tính

b, Chứng minh

c, Chứng minh

Đáp án:

a, Xét  có:

AM = MD (gt)

BM = MC (gt)

   (c.g.c)

Và  (2 góc tương ứng)

AC // BD

Mà AB  AC

 AB  BD

b, Xét  có:

AB chung

AC = BD (cmt)

   (c.g.c) (1)

c, Từ (1)  (2 cạnh tương ứng)

Mà

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho . Chứng minh rằng

Đáp án:

Vẽ AF  BD, CG  BD, CH  AE

Ta có  cân tại A (gt)

và

Xét  và  vuông, ta có:

 =  (ch – gn)

 (2 cạnh tương ứng)

Có BD là đường trung tuyến của

Xét  và  vuông, ta có:

 (2 góc đối đỉnh)

 =  (ch – gn)

 (2 cạnh tương ứng)

Mà  (cmt)

Xét  và  vuông, ta có:

 (cmt)

EC chung

 =  (ch – cgv)

 (hai góc tương ứng)

Lại có là góc ngoài của

là góc ngoài của

 (3)

Lại có  (vì ) (4)

Từ (3) và (4), ta có:  – (  = (  (

 –

Mà  (gt)

 =

Mà  =  (gt)

 =

Bài 4: Cho tam giác  vuông tại , trên tia đối của tia  lấy điểm  sao cho  là trung điểm của  vẽ đường thẳng vuông góc với  tại , đường thẳng này cắt  tại .

1. a) Chứng minh .
2. b) Gọi là trung điểm của . Chứng minh các đường thẳng , DF đồng quy.

Đáp án:

1. a) Xét và EIA có

EI: cạnh chung

ID  IA

Do đó  (hai cạnh góc vuông)

 (góc tương ứng)

1. b) (1) (góc tương ứng)

Vi EI (2) (2 góc so le trong)

Và  (3) (đồng vị)

Từ (1) (2) và (3)  hay  cân tại

 mà  hay  là trung điểm của  nên  là đường trung tuyến của  lại có  là trung điểm của  (gt)

Nên  là đường trung tuyến thứ hai,  là trung điểm của  nên  là trung tuyến thứ ba. Do đó  đồng quy.

Bài 5: Tam giác  có ba góc nhọn và , kẻ  vuông góc với . Trên tia đối của tia MA lấy điểm  sao cho .

1. a) Chứng minh và bằng nhau.
2. b) Gọi lần lượt là trung điểm của và  và  là giao điểm của  và  chứng minh rằng ba điểm  thẳng hàng.

Đáp án:

1. a) Xét và có

MC: cạnh chung

MA = MI (gt)

Do đó  cạnh góc vuông)

1. b) Ta có là trung tuyến của

Lại có  là trung điểm của  (gt) nên  là đường trung tuyến thứ hai.

Mà  và  cắt nhau tại

Nên  là trọng tâm  lại có  là trung điểm của IC.

Nên  là đường trung tuyến thứ ba

Do đó  phải qua trọng tâm  của  hay 3 điểm  thẳng hàng. 'Chứng minh ba đường đồng quy.

Bài 6: Cho tam giác , hai đường trung tuyến  và  cắt nhau tại . Trên tia đối của tia MA lấy điểm  sao cho .
a) Chứng minh .
b) Chứng minh .
c) Chứng minh .
d) Gọi I là trung điểm của  cắt  tại .
Chứng minh .

Đáp án:

1. a) Hai trung tuyến và cắt nhau tại  nên  là trọng tâm

Ta có

Lại có

Từ (1) và .

1. b) Xét và có

 (gt). Do đó  (c.g.c)

 (góc tương ứng)

 (cặp góc so le trong bằng nhau)

1. c) Chứng minh tương tự có (c.g.c)

. Do  là trọng tâm  nên

Mà .

1. d) Xét có là trung điểm của  nên  là đường trung tuyến của  lại có  là đường trung tuyến thứ hai mà  cắt  tại  nên  là trọng tâm của .

Bài 7: Cho tam giác , Trên tia đối của tia BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho BE = CF. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. AG cắt BC tại M. Lấy H là trung điểm AG. Nối EG cắt AF tại N. Lấy I là trung điểm EG. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AEF.

Đáp án:

Ta có MB = MC (vì AM là đường trung tuyến)

BE = CF (gt)

Mà ME = MB + BE, MF = MC + CF

 AM là đường trung tuyến ứng với cạnh EF của tam giác AEF

Mặt khác  (G là trọng tâm tam giác ABC)

 là trọng tâm tam giác AEF.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Bài 1: Cho tam giác , trên tia đối của tia  lấy  sao cho . Lấy  thuộc  sao cho .

Tia DG cắt  ở . Qua  vẽ đường thẳng song song với ; qua  vẽ đường thẳng song song với , hai đường thẳng này cắt nhau ở . Gọi  là giao điểm của  và .

Chứng minh rằng:  thẳng hàng.

Đáp án:

Ta có  (gt) hay  là trung điểm của  nên  là trung tuyến của

Lại có  là trọng tâm của , mà DG cắt  tại . Do đó  là trung điểm của BC. Lại có  (gt)

 (so le trong)

Mặt khác DF // BC (gt)  (so le trong)

Do đó  (g.c.g) , mà

Xét  và  có  (so le trong do  )

 (so le trong). Do đó  (g.c.g)

 (cạnh tương ứng) hay  là trung tuyến của .

Do đó  phải đi qua trọng tâm  hay  thẳng hàng.

Bài 2: Cho tam giác  cân tại , trung tuyến .

1. a) Chứng minh .
2. b) Từ kẻ . Chứng minh cân.
3. c) Chứng minh .
4. d) Trên tia đối của tia MF lấy điểm I sao cho MI=MF.

Gọi P là giao điểm của AM và EF. Q là giao điểm của EI và BC. Chứng minh rằng EM, IP, FQ đồng quy.

Đáp án:

1. a) Xét và có  : cạnh chung, ,

Do đó  (c.c.c)  (góc tương ứng)

1. b) Xét và

có

AM: cạnh chung,

Do đó  (cạnh huyền - góc nhọn)  (cạnh tương ứng) hay  cân tại .

1. c) Ta có cân tại

Tương tự  cân tại

(1) (2)

Do đó  (cặp góc đồng vị bằng nhau)

Lại có  (góc tương ứng)

Mà  (kề bù

Hay  mà

1. d) Ta có (cạnh tương ứng)

Lại có

Xét  và  có ,

Do đó  (cạnh huyền - góc nhọn)

 (góc tương ứng) lại có  đ

Xét  và  có  : cạnh chung,  (cmt),

Do đó  (c.g.c)

 (cạnh tương ứng) hay  là trung điểm của  vậ  là đường trung tuyến của  lại có  là trung tuyến thứ hai (  là trung điểm của

Dễ thấy  (c.g.c)

Hay  là trung điểm của .

Vậy IP là đường trung tuyến thứ ba.

Do đó ba đường trung tuyến ,  và IP đồng quy.