Bài tập file word toán 7 cánh diều Chương 7 Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên

BÀI 8: ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Chiều cao của tam giác ứng với một cạnh của nó có phải là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó không?

Đáp án:

Giả sử ABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC.

Khi đó AH là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.

Vậy chiều cao của tam giác ứng với một cạnh của nó là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó.

Bài 2: Hãy chỉ ra các đường vuông góc, các đường xiên trong hình 1

Đáp án:

Đường vuông góc: AH

Đường xiên: AB, AC

Bài 3: Cho đường thẳng a và điểm O (không thuộc đường thẳng a) hãy vẽ đường vuông góc và ba đường xiên kẻ từ điểm O đến đường thẳng a. Chỉ ra các đường xiên và đường vuông góc và đường xiên vừa vẽ

Đáp án:

Đường xiên: OB, OM, OK

Đường vuông góc: OH

Bài 4: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Trên đường thẳng vuông góc với AC tại B lấy điểm H bất kì. So sánh AH và BH.

Đáp án:

Xét  có BH là đường vuông góc và AH là đường xiên

Bài 5: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Trên đường thẳng vuông góc với AB tại B, ta lấy điểm M. So sánh MA và MB, MC và MB

Đáp án:

Xét  có BM là đường vuông góc, MA và MC là đường xiên

;

Bài 6: Cho tam giác  vuông tại  có .

1. a) Hãy so sánh các cạnh của tam giác.
2. b) Lấy điểm bất kỳ thuộc đoạn thẳng . Hãy so sánh độ dài và .

Đáp án:

1. a) vuông tại có

Khi đó  theo định lí ta có .

1. b) Xét có (gt)

   là góc nhọn.

Mà  (2 góc kề bù)  là góc tù.

Xét  có  là góc tù

 là góc nhọn hay     .

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Bài 1: Cho tam giác  nhọn và . Gọi  là hình chiếu của  trên . Hãy sắp xếp các đoạn thẳng  và  theo thứ tự độ dài tăng dần.

Đáp án:

Vì  nên theo định lí 2 bài 31 ta có

 là hình chiếu của  trên  nên  là độ dài đường vuông góc kẻ từ  đến

 và  là các đường xiên kẻ từ A đến

Do đó .

Bài 2: Cho tam giác  nhọn

1. a) Vẽ là hình chiếu của trên đường thẳng .
2. b) Vẽ là hình chiếu của trên đường thẳng .
3. c) Chứng minh rằng .

Đáp án:

1. c) Xét vuông tại nên  là đường vuông góc kẻ từ  đến

 là độ dài đường xiên kẻ từ  đến  nên

Xét  vuông tại  nên  là đường vuông góc kẻ từ  đến ,
 là đường xiên kẻ từ  đến  nên

Từ (1) và .

Bài 3: Cho hình vẽ. Cho . Chứng minh rằng:  

Đáp án:

Xét  vuông tại

Ta có  là đường vuông góc kẻ từ  đến  là đường xiên kẻ từ  đến  nên theo định lí ta có (vì  nên  nằm giữa hai điểm  và  )

 là góc ngoài của

Do đó  là góc tù, xét  vì  tù

 theo định lí ta có .

Bài 4: Cho tam giác  nhọn, vẽ  vuông góc với ,  vuông góc với . Chứng minh rằng .

Đáp án:

Xét  vuông tại  ta có  là đường vuông góc kẻ từ  đến  là đường xiên kẻ từ  đến  

Suy ra

CMTT với  vuông tại  ta cũng có

(  là đường vuông góc kẻ từ  đến  và  là đường xiên)

Cộng (1) và (2) ta có .

Bài 5: Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE. So sánh BD + CE với AB + AC

Đáp án:

Ta có BD và CE là hai đường cao của ABC

 và

 là hai đường vuông góc ứng với hai đường xiên AC và AB

 và  (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

3. VẬN DỤNG (5 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A và C xuống đường thẳng BM. Chứng minh BD + BE > 2AB

Đáp án:

Ta có  vuông tại  (gt)

 (quan hệ giữ đường xiên và đường vuông góc)

Mà BM = BD + DM

 (1)

Lại có BM + ME = BE

 (2)

Từ (1) và (2)  (3)

Có M là trung điểm AC

Xét  vuông tại D và  vuông tại E, ta có:

AM = MC (cmt)

 (2 góc đối đỉnh)

   (ch-gn)

 (2 cạnh tương ứng) (4)

Từ (3) và (4)  (dpcm)

Bài 2: Cho tam giác ABC có BD và CE với . So sánh BD + CE với 2BC

Đáp án:

Ta có BC và CE lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ C đến AB

 (1)

Ta có BC và BD lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ B đến AC

 (2)

Từ (1) và (2)

 (dpcm)

Bài 3: Cho ABC vuông tại A. Trên cạnh AB và AC lấy hai điểm D và E (không trùng với đỉnh của . Chứng minh rằng DE < BE < BC

Đáp án:

Vì D nằm giữa A và B

Mà AD và AB lần lượt là hình chiếu của DE và BE trên AB

 (1)

Vì E nằm giữa A và C

Mà AE và AC lần lượt là hình chiếu của BE và BC trên AC

 (2)

Từ (1) và (2)  

Bài 4: Cho ABC có . Trên cạnh AB và AC, lấy lần lượt hai điểm M và N (không trùng với đỉnh của . Chứng minh rằng AB < BN < BC

Đáp án:

Từ B kẻ BH  AC, vì là góc tù  nằm ngoài AC

Lúc này, AB, BC, BN là các đường xiên kẻ từ B đến AC

AH, CH và NH là các hình chiếu của AB, BC và BN trên AC

Lại có AH < NH < CH  AB < BN < BC (dpcm)

Bài 5. Trong ABC lấy điểm D. Chứng minh rằng nếu AD = AB thì AB < AC

Đáp án:

Kẻ AP  BD

Gọi E là giao điểm của AC và BD

Ta có, DP và BP lần lượt là hình chiếu của AD và AB trên BE

Mà AB = AD (gt) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Vì PE > DP    (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Mà AC > AE

4. VẬN DỤNG CAO (1 câu)

Bài 1: Cho , trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B. Chứng minh rằng OA + OB < 2AB.

Đáp án:

Kẻ tia phân giác Ot của

Gọi I là giao của AB và Ot

H và K lần lượt là hình chiếu của A, B trên tia Ot.

Xét  có  nên OI = 2AI.

Mà OA < OI suy ra OA < 2AI (1)

CMTT ta có OB < 2BI (2)

(Vì trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền)

Từ (1) và (2)  OA + OB < 2AI + 2BI

Mà AI + BI = AB

 OA + OB < 2AB

Bài 2. Cho tam giác ABC

1. a) Từ A kẻ . Chứng minh rằng
2. b) Từ B kẻ từ C kẻ . Chứng minh rằng AH + BK + CI nhỏ hơn chu vi của tam giác ABC.

Đáp án:

1. a) AH < AC, AH < AB (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).

Vậy  (1)

1. b) Tương tự: (2); (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

Hay