Câu hỏi tự luận toán 10 chân trời sáng tạo chương 8 Bài 3: Nhị thức Newton

BÀI 3: NHỊ THỨC NEWTON (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Sử dụng công thức nhị thức Newton để khai triển (x + 6)3

Trả lời:

(x + 6)3 = . x3. 60 + . x2. 61 + . x1. 62 + . x0. 63 +. x0. 4

             = x3 + 18x2 + 108x + 216

Bài 2: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển ( + .x)4

Trả lời:

( + .x)4 = . ()4. (.x)0 + . ()3. (.x)1 + . ()2. (.x)2 + . (). (.x)3 +. (x)4

              =  + x + x2 + x3 + x4 

Vậy hệ số lớn nhất là

Bài 3: Tìm hệ số của x7 trong khai triển (2x + 1)13

Trả lời:

Số hạng tổng quát :  . (2x)13 - k . (1)k = . 213-k. x13-k

Số hạng chứa x7 ⬄ 13 – k = 7 ⬄ k = 6

Vậy hệ số của x7 là : . 213-6 = 219648

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển (x3 + )10

Trả lời:

Số hạng tổng quát là : . x3.(10 – k) .  = .x30 – 5k

Số hạng không chứa x ⬄ 30 – 5k = 0 ⬄ k = 6

Vậy số hạng tự do là  = 210

Bài 2: Tìm hệ số của x8 trong khai triển ( 1 + )12

Trả lời:

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là : ak = . x12 – k .  = .x12 – 2k

12 – 2k = 8 ⬄ k = 2

Vậy hệ số của x8 là  = 66

Bài 3: Tìm hệ số của x5 trong khai triển x(2x – 1)6 + ( x – 3)8

Trả lời:

Hệ số của x5 trong biểu thức x(2x – 1)6 là : .24 .(-1)2 = 240

Hệ số của x5 trong biểu thức (x – 3)8 là : . (-3)3 = - 1512

=> Hệ số của x5 trong khai triển x(2x – 1)6 + ( x – 3)8 là 240 – 1512 = - 1272

Bài 4: Tìm hệ số của x23y11  trong khai triển ( x3 + xy)15

Trả lời:

Số hạng tổng quát là : .(x3)15 -k.(xy)k = .x45 -2k.yk

Với 0 ≤ k ≤ 15 , số hạng chứa x23y11 ⬄ k = 11

Vậy hệ số của x23y11 là  = 1365

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho nhị thức (2x2 + )n , trong đó số nguyên dương n thỏa mãn  = 72n. Tìm số hạng chứa x5 trông khai triển.

Trả lời:

 = 72n ⬄  = 72n ⬄ n(n – 1)(n – 2) = 72n ⬄ n = 10

Số hạng tổng quát của (2x2 + )10 là : . 210-k. x20-5k

Số hạng chứa x5 ⬄ 20 – 5k = 5 ⬄ k = 3

=> Số hạng chứa x5 là : . 27

Bài 2: Cho n là số tự nhiên thỏa mãn  + 2. +22.+...+2n. = 59049. Biết số hạng thứ 3 trong khai triển (x2 - )n có giá trị bằng n. Tìm x

Trả lời:

 + 2. +22.+...+2n. = 59049 ⬄ ( 2 + 1)n = 59059 ⬄ n = 10

Số hạng thứ ba của khai triển (x2 - )10 là : . (x2)8. (- )2 = 405x104

Theo giả thiết ta có : 405x104 = n ⬄ 405x104 = 405 ⬄ x = ± 1

Vậy x = ±1

Bài 3: Biết hệ số của x2 trong khai triển ( 1 – 3x)n là 90. Tìm n

Trả lời:

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển ( 1 – 3x)n là . (-3) k . xk

Số hạng chưa x2 ⬄ k = 2

Ta có : . (-3) 2 = 90

⬄   = 10 ⬄  = 10 ⬄ n(n – 1) = 20 ⬄n = -4 ( loại) hoặc n = 5 ( thỏa mãn)

Vậy n = 5

Bài 4 : Tìm hệ số của x3 trong biểu thức K = ( x + 1)10 + ( x – 1)5

Trả lời:

+) Số hạng tổng quát của (x +1)10 là : . (x)10 - k . (1)k

    Hệ số của x3 ⬄ 10 – k = 3 ⬄ k = 7

    Hệ số của x3 trong (x +1)10 là : .(1)7 =

+) Số hạng tổng quát của (x - 1)5 là : . x5 - k . (-1)k

    Hệ số của x3 ⬄ 5 – k = 3 ⬄ k = 2

    Hệ số của x3 trong (x - 1)5 là : . (-1)2 =

=> hệ số của x3 trong biểu thức K là :  +  = 130

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Số hạng mà lũy thừa của x và y bằng nhau là số hạng thứ bao nhiêu trong khai triển ( + )2025.

Trả lời:

Số hạng thứ k + 1 là : .()2025-k . ()k = ..

Lũy thừa của x và y bằng nhau ⬄ k =  ⬄ k = 1350

Vậy số hạng thỏa mãn đề bài là số hạng thứ 1351.

Bài 2: Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển ( x3 + xy)21

Trả lời:

Khai triển ( x3 + xy)21 có 21 + 1 = 22 số hạng => số hạng đứng giữa là số thứ 11; 12

Số hạng thứ 11 là : . (x3)11 . (xy)10 = .x43.y10

Số hạng thứ 12 là : . (x3)10 . (xy)11 = .x41.y11

Bài 3: Cho khai triển ( + x)10 = a0 + a1x + ... + a10x10 . Hãy tìm số hạng ak lớn nhất.

Trả lời:

Số hạng tổng quát của khai triển ( + x)10 là: . ()10-k. (.x)k = . ()10. 2k. xk

Số hạng ak lớn nhất ⬄ .2k lớn nhất ⬄ k ≥ 5

Ta có :

k = 5 => .25 = 8064

k = 6 => .26 = 13440

k = 7 => .27 = 15360

k = 8 => .28 = 11520

k = 9 => .29 = 5120

k = 10 => .210 = 1024

=> Số hạng ak lớn nhất ⬄ k = 7 => ak = ()10 . 15360

Bài 4: Trong khai triển nhị thức Newton của K(x) = (x + 3)2023 thành đa thức , có bao nhiêu số hạng có hệ số nguyên dương ?

Trả lời:

Số hạng tổng quát là : . (x)2023 - k . 3k = .2(2023 – k) : 3 .3k . x2023 – k

Để hệ số nguyên dương ⬄ ( 2023 – k) ⁝ 3

⬄2023 – k = 3t ⬄ k = 2023 – 3t 

Vì 0 ≤ k ≤ 2023 => 0 ≤ t ≤    674,3

=> t  {0; 1; 2; 3; ...; 674} => có 675 giá trị

Vậy có 675 số hạng có hệ số nguyên dương.