Câu hỏi tự luận toán 10 chân trời sáng tạo chương 9 Bài 1: Tọa độ của vectơ

BÀI 1 : TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,  = ( 9; -6) . Hãy biểu diễn  qua vectơ đơn vị  và

Trả lời:

 = ( 9; -6) =>  = 9.  - 6. 

Bài 2: Cho  = ( -6; 2) ;  = (9; -7) . Tìm tọa độ của  +   ;  -

Trả lời:

 +  = ( -6 + 9; 2 - 7) = ( 3; -5)

 -  = ( -6 – 9 ; 2 + 7) = ( -15; 9)

Bài 3 : Cho tam giác MNQ với tọa độ 3 điểm M(9; 5) ; B( 7; -4) ; C( -1; 5). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác.

Trả lời:

xG = (9 + 7 - 1 ) : 3 = 5 ; yG = ( 5 – 4 + 5 ) : 3 = 2 => G (5; 2)

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Tính góc giữa 2 vectơ  = ( 1; -2) và  = ( -2; -6)

Trả lời:

cos ( ; ) =  =  =  =  => ( ; ) = 450

Bài 2: Cho ba điểm A(1;− 2) , B (0;4) , C (3;2) .Tìm tọa độ điểm M sao cho  = 2. – 3. 

Trả lời:

 = ( -1; 6) ;  = ( 2; 4)

2. – 3.  = (2.(-1) – 3.2; 2.6 – 3.4) = ( -8; 0)

 = 2. – 3.  => xM – 3 = -8 ; yM – 2 = 0 => M( -5; 2)

Bài 3: Cho ba điểm A(−1; −3), B(2; 3) và C(3; 5) . Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Trả lời:

 = ( 3; 6) ;  = (1; 2) =>  = 3.  => 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có A(2;2), B(1;−1),C(8;0). Chứng minh   ⊥  

Trả lời:

 = ( -1; -3) ;  = (6; -2) =>  . = (-1). 6 + (-3).(-2) = 0 =>  ⊥

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A( 3; 2) và B(2; -3). Tam giác OAB là tam giác gì ? Vì sao ?

Trả lời:

OA2 = 32 + 22 = 13 ; OB2 = 22 + (-3)2 = 13

 = ( -1; -5) => AB2 = (-1)2 + (-5)2 = 26

OA = OB => ΔOAB cân tại O

OA2 + OB2 = AB2 => ΔOAB vuông tại O

Vậy ΔOAB vuông cân tại O

Bài 2: Cho 3 điểm A( -1; 1); B( 2; 1) ; C( -1; -3).

a) Chứng minh rằng : tồn tại tam giác ABC

b) Tính chu vi tam giác ABC

Trả lời:

a)  = ( 3; 0) ;  = ( -3; -4)

Vì  ≠  =>  và không cùng phương

=> 3 điểm A, B, C không thẳng hàng => tồn tại tam giác ABC

b)  = ( 3; 0) => AB = 3 ;

     = ( -3; -4) => BC =  = 5;

     = ( 0; -4) => AC = 4 ;

    Chu vi tam giác ABC là : 3 + 5 + 4 = 12

Bài 3: Cho A(1;3) , B (2;5) và C (4;−1) .Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Trả lời:

 = ( 1; 2)

ABCD là hình bình hành ⬄ =

⬄ 4 – xD = 1; (-1) – yD = 2 =>D (3; -3)

Bài 4 : Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;1), B (2;4),C (10;−2). Tính cos B

Trả lời:

 = ( -1; -3) ;  = ( 8; -6)

=>  .  = ( -1). 8 + (-3).( -6) = 10

cos B = cos ( ; ) =  =  =

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho  = ( -2; 3) ;  = ( 4; 1). Tìm các số k và m sao cho  = k + m vuông góc với vectơ ( + )

Trả lời:

 = k + m = ( -2k + 4m; 3k + m)

 +  = ( 2; 4)

 vuông góc với vectơ ( + ) ⬄ 2.(-2k + 4m) + 4.( 3k + m) = 0 ⬄ 2k + 3m = 0

Vậy các giá trị k; m thỏa mãn 2k + 3m = 0 thì  vuông góc với vectơ ( + )

Bài 2 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A( -2 ; 5) ; B( 2; 2) ; C ( 10; -5). Tìm điểm E (m ; 1) sao cho tứ giác ABCE là hình thang có một đáy là CE.

Trả lời:

 = ( 4; -3) ;  = ( 10 -m ; - 6)

Vì tứ giác ABCE là hình thang có một đáy là CE =>  và  cùng phương

=>  =  => (-3).(10 – m) = (-6). 4 ⬄ 10 – m = 8 ⬄ m = 2

Vậy E( 2; 1)

Bài 3: Cho hai điểm A(2;4) và B (1;1) . Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B .

Trả lời:

Gọi C( x; y) =>  = ( 1; 3) ;  = ( x – 1; y – 1)

Tam giác ABC vuông cân tại B ⬄  . = 0 ; BA = BC

⬄ 1.( x – 1) + 3.( y – 1) = 0 ; 12 + 32 = ( x – 1)2 + ( y – 1)2

⬄ x = 4 – y ; (3 – 3y)2 + ( y – 1)2 = 10

⬄ x = 4 – y ; 10y2 – 20y = 0

⬄ y = 0 ; x = 4 hoặc y = 2; x = -2

Vậy có hai điểm C thỏa mãn đề bài là C( 4; 0) hoặc C ( -2; 2)

Bài 4 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có tâm I ( -2; 0) và A ( 1; 3) ; D(1; 1). Gọi M là trung điểm của BC. Tìm tọa độ điểm M.

Trả lời:

+) ABCD là hình bình hành =>  =  = ( 0; 2)

+) I là trung điểm AC => C( -5 ; -3)

+) Giả sử M(x; y) =>  = ( x + 5 ; y + 3 )

+)  M là trung điểm BC =>  = .  = .

=> x + 5 =  . 0 ; y + 3 = . 2

=> x = -5 ; y = -2 . Vậy M (-5; -2)