Câu hỏi tự luận toán 10 chân trời sáng tạo chương 9 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

BÀI 4 : BA ĐƯỜNG CONIC TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường elip ?

a)  -  = 1                     b)  +  = 0                 c)  +  = 1

Trả lời:

Phương trình chính tắc của đường elip  +  = 1 ( a > b > 0)

 => phương trình c thỏa mãn.

Bài 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường hypebol ?

a)  -  = 1                  b)  +  = 1                 c)  -  = -1

d)  -  = 0                  e)  -   = 1                 f)  +  = 0

Trả lời:

Phương trình chính tắc của đường hypebol   -  = 1 ( a > 0;  b > 0)

 => phương trình a, e thỏa mãn.

Bài 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường parabol ?

a) y2 = -2023x        b) y2 = 2024x         c) x2 = 2023y         d) x2 = - 2024y

Trả lời:

Phương trình chính tắc của đường parabol có dạng y2 = 2px ( p > 0)

=> phương trình b thỏa mãn.

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Xác định các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm của elip có phương trình sau : 4x2 + 25y2 = 100

Trả lời:

4x2 + 25y2 = 100 ó  +  = 1 => a = 5; b = 2; c =  =

Tọa độ 4 đỉnh là : A1 ( -5; 0); A2 ( 5; 0) ; B1( 0; -2); B2 ( 0; 2)

Độ dài trục lớn A1A2 = 10 ; độ dài trục bé B1B2 = 4

Tiêu cự F1F2 = 2c = 2 ; tiêu điểm F1 ( - ; 0) ; F2 ( ; 0)

Bài 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có tiêu điểm tọa độ là ( -4; 0) và độ dài trục ảo bằng 2

Trả lời:

Giả sử hypebol (H) có phương trình chính tắc là:  -   = 1 ( a > 0; b > 0)

(H) có tiêu điểm tọa độ là ( -4; 0) => c = 4

Độ dài trục ảo bằng 2 ó 2b = 2 => b2 = 7 => a2 = c2 – b2 = 16 – 7 = 9

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là :  -   = 1

Bài 3: Viết phương trình chính tắc của elip (E) có độ dài trục lớn bằng 18 và tiêu cự bằng 10.

Trả lời:

Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là:   +   = 1 ( a > b > 0)

Ta có : 2a = 18 => a = 9 ; 2c = 10 => c = 5 => b2 = a2 – c2 = 56

Vậy phương trình chính tắc của (E) là :   +   = 1

Bài 4: Viết phương trình chính tắc của parabol (P) biết khoảng cách từ tiêu điểm F đến đường thẳng ∆: x + y −12 = 0 là 2

Trả lời:

Phương trình chính tắc của (P) : y2 = 2px

Tiêu điểm F(  ; 0)

Khoảng cách từ F đến đường thẳng Δ là :  = 2 => p = 32 hoặc p = 16

Vậy phương trình chính tắc của parabol là : y2 = 64x hoặc y2 = 32x

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho điểm K nằm trên Hypebol (H) :  -   = 1. Nếu điểm K có hoành độ bằng 8 thì khoảng cách từ K đến các tiêu điểm là bao nhiêu ?

Trả lời:

Ta có : a2 = 16; b2 = 9 => c2 = a2 + b2 = 25 => a = 4; b = 3 ; c = 5

Tiêu điểm F1( -5; 0) ; F2( 5; 0)

K có hoành độ x = 8

=> KF1 = | a + .x| = | 4 + .8| = 14;  KF2 = | a - .x| = | 4 - . 8| = 6

Bài 2: Cho hypebol (H) : 4x2 – y2 – 4 = 0. Tìm các điểm trên (H) nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông.

Trả lời:

(H) : 4x2 – y2 – 4 = 0 ó (H) :  -   = 1 => a2 = 1; b2 = 4 => c =  =

=> (H) có hai tiêu điểm là F1 ( - ; 0) ; F2 (; 0)

Gọi M( x; y) là điểm cần tìm.

 = ( x + ; y) ;  = (x - ; y)

F1M ⊥ F2M ó  .  = 0 ó (x + ).( x -  ) + y2 = 0 ó x2 + y2 – 5 = 0

M  (H) ó 4x2 – y2 = 4 => 5x2 = 9 => x = ± => y = ±

Vậy 4 điểm cần tìm là ( ; ) ; ( ; ) ; ( ; ) ; ( ; )

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho elip (E) :  +  = 1. Gọi F1; F2  là hai tiêu điểm của elip; A và B là hai điểm thuộc (E) sao cho AF1 + BF2 = 8. Tính AF2 + BF1   

Trả lời:

Ta có :  a2 = 25 => a = 5 => AF1 + AF2 = 2a = 10 ; BF1 + BF2 = 2a = 10

=> AF1 + AF2 + BF1 + BF2 = 20

ó 8 + AF2 + BF1 = 20 ó AF2 + BF1 = 12

Vậy AF2 + BF1 = 12

Bài 4 : Cho parabol (P) : y2 =12x có tiêu điểm F . Tìm hai điểm A , B trên (P) sao cho tam giác OAB có trực tâm là F.

Trả lời:

Ta có: F (3;0) nên tam giác OAB nhận F là trực tâm thì A , B đối xứng qua Ox .

Gọi A(m; n) thì B(m; − n) , m ≠ 0

Ta có :

+) Điểm A thuộc (P) => n2 = 12m

+) OA vuông góc với BF => m.(m – 3) – n2 = 0

ó m2 – 15m = 0 ó m = 15 ( do m ≠ 0) => n2 = 180 => n = ±6

Vậy A( 15; 6) và B( 15 ; - 6)

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho M là một điểm thuộc parabol (P) : y2 = 64x và N là một điểm thuộc đường thẳng d: 4x + 3y + 46 = 0. Xác định M, N để đoạn thẳng MN ngắn nhất.

Trả lời:

M  (P) => M(m2 ; 8m )

d( M ; d) =  =  ≥  = 2

Dấu “ = ” xảy ra ó 2m + 6 = 0 ó m = -3 => M( 9; -24)

Khi đó N là hình chiếu của M lên đường thẳng d

Đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng d

=> đường thẳng MN có dạng : 3x – 4y + c = 0

Đường thẳng MN đi qua M( 9 ; -24) => c = -123

=> đường thẳng MN : 3x – 4y – 123 = 0

N là giao điểm của đường thẳng MN và d => N( ; )

Bài 2: Cho hai parabol (P) : y2 = 2px và (P’) : y2 = 2p’x. Qua O vẽ đường thẳng thay đổi cắt (P) và (P’) tại hai điểm phân biệt A và A’. Chứng minh rằng tỉ số  không thay đổi.

Trả lời:

Đường thẳng đi qua O cắt hai parabol (P) và (P′) lần lượt tại hai điểm phân biệt A và A′ có dạng y = kx với k ≠ 0

Giả sử A(x0 ; y0) là nghiệm khác 0 của hệ phương trình : y = kx ; y2 = 2px

=> x0 =  ; y =

=> OA =  = .

Tương tự ta có OA’ = .

=>  =  ( không thay đổi ) ( đpcm)

Bài 3 : Một cái tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt hình hypebol có phương trình  -   = 1. Biết chiều cao của tháp là 150 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng  lần khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.

Trả lời:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Ta có : HK = 150 ; OH = . OK => OH = 60 m; OK = 90 m

Đường thẳng qua H, vuông góc với Oy là : Δ1 : y = 60

Δ1 cắt hypebol tại điểm có hoành độ dương và thỏa mãn  -   = 1

=> x = 4  48,826 m

Đường thẳng qua K, vuông góc với Oy là Δ2 : y = -90

Δ2 cắt hypebol tại điểm có hoành độ dương và thỏa mãn  -   = 1

=> x = 4  66,212 m

Vậy bán kính nóc của tháp  48,826 m; bán kính đáy của tháp  66,212 m

Bài 4 : Ông Hoàng có một mảnh vườn hình Elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 60m và 30m . Ông chia mảnh vườn ra làm hai nửa bằng một đường tròn tiếp xúc trong với Elip để làm mục đích sử dụng khác nhau (xem hình vẽ). Nửa bên trong đường tròn ông trồng cây lâu năm, nửa bên ngoài đường tròn ông trồng hoa màu. Tính tỉ số diện tích T giữa phần trồng cây lâu năm so với diện tích trồng hoa màu. Biết diện tích hình Elip được tính theo công thức S = πab , với a, b lần lượt là nửa độ dài trục lớn và nửa độ dài trục nhỏ. Biết độ rộng của đường Elip là không đáng kể.

Trả lời:

Diện tích (E) : SE = πab = π 30. 15 = 450π (m2)

Vì đường tròn tiếp xúc trong nên tiếp xúc tại đỉnh của trục nhỏ

=> đường tròn có bán kính R = 15 m

Diện tích hình tròn (C) phần trồng cây lâu năm là : SC = π.R2 = 225π (m2)

Diện tích phần trồng hoa màu là : S = SE – SC = 225π (m2)  => T = 1