Giáo án chuyên đề toán 12 cánh diều

Trong một trò chơi quay số trúng thưởng,
người ta dùng một lồng đựng 100 quả bóng
có cùng kích thước và khối lượng, mỗi quả
bóng khác nhau được viết một số nguyên
dương khác nhau từ 1 đến 100. Mỗi lần quay lồng, ta nhận được ngẫu nhiên 1 quả bóng. Ghi lại số xuất hiện trên quả bóng và bỏ quả bóng đó trở lại vào lồng. Gọi X là số lần xuất hiện số 10 khi quay lồng 30 lần.

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai HĐ1 và cho HS đọc đề bài.

+ GV gợi nhớ lại cho HS các mặt Sấp, ngửa của một đồng xu và các trường hợp có thể xảy ra khi tung đồng xu.

+ ý a) GV chỉ định 1 HS nêu đáp án.

+ ý b) GV giải thích: Giá trị của  chính là số lần mà mặt ngửa xuất hiện. Ví dụ: nếu kết quả 2 lần tung là  thì có 0 lần xuất hiện mặt ngửa. Vậy giá trị của .

 Tương tự như vậy, GV chỉ định một số HS nêu đáp án cho ý b).

+ ý c) GV cho các HS phát biểu ý kiến riêng của mình và sau đó GV chốt đáp án và giải thích.

 GV: “Kết quả của X không thể dự đoán trước vì việc tung đồng xu là một sự kiện ngẫu nhiên”.

- GV trình chiếu hoặc cho HS đọc nội dung trong khung kiến thức trọng tâm, và yêu cầu HS ghi chép bài đầy đủ.

- GV cũng lưu ý cho HS  các kí hiệu cho các biến ngẫu nhiên rời rạc.

- HS thực hiện Ví dụ 1 dưới sự hướng dẫn của GV:

+ ý a) Con xúc xắc có bao nhiêu mặt? Mỗi mặt có bao nhiêu chấm?

 Vậy khi gieo con xúc xắc 1 lần thì có những trường hợp nào có thể xảy ra? Những trường hợp đó có phải là không gian mẫu  không?

+ ý b) Hãy cho biết đại lượng  có nhận giá trị bằng số thuộc không gian mẫu  ở ý a) hay không?

 Dựa vào Định nghĩa vừa ghi bên trên để kết luận cho ý b).

+ GV mời 2 HS trình bày bài giải cho ý a) và b) để cả lớp quan sát, nhận xét cách làm.

- GV cho HS thực hiện thảo luận nhóm đôi hoặc ba để thực hiện Luyện tập 1

+ Sau thời gian thảo luận, GV chỉ định 1 HS trình bày câu trả lời.

+ Các nhóm còn lại lắng nghe, cho ý kiến bổ sung.

+ GV chốt đáp án cho HS ghi bài.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc

HĐ1

Mặt sấp kí hiệu: ; Mặt ngửa kí hiệu: .

a)

b)  là số lần xuất hiện mặt ngửa

+ Nếu cặp kết quả là  thì

+ Nếu cặp kết quả là  hoặc  thì

+ Nếu cặp kết quả là thì

Vậy các giá trị của  là .

c) Giá trị của  không thể được dự đoán chính xác trước khi thí nghiệm được thực hiện vì việc tung đồng xu là một sự kiện ngẫu nhiên và không thể biết trước kết quả cụ thể cho mỗi lần tung.

Nhận xét: Đại lượng  có các đặc điểm sau:

- Giá trị của  là một số thuộc tập hợp

- Giá trị của  là ngẫu nhiên, không dự đoán trước được.

Ta nói  là một biến ngẫu nhiên rời rạc.

Định nghĩa

Xét phép thử ngẫu nhiên  có không gian mẫu  là tập hữu hạn phần tử.

Đại lượng  được gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hợp hữu hạn nào đó, mỗi giá trị ấy không dự đoán trước được và phụ thuộc vào kết quả của phép thử ngẫu nhiên .

Chú ý: Các biến ngẫu nhiên rời rạc thường được kí hiệu là

Ví dụ 1: SGK – tr.6

Hướng dẫn giải: SGK – tr.6

Luyện tập 1

 là biến ngẫu nhiên: vì giá trị của phụ thuộc vào kết quả của quá trình ngẫu nhiên khi quay lồng và không dự đoán trước được.

Tập giá trị của :  chỉ có thể nhận giá trị từ  đến  vì không thể xuất hiện số  quá 30 lần trong 30 lần quay.

Do đó,  là một biến ngẫu nhiên rời rạc và nhận giá trị thuộc tập hợp .

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai HĐ2 và cho HS thảo luận nhóm đôi thực hiện.

+ GV yêu cầu 1 HS tìm không gian mẫu và số kết quả có thể xảy ra của phép thử .

+ ý a) GV gợi ý:  tức là sau hai lần tung thì được kết quả là . Lấy số lần xuất hiện mặt  chia cho số kết quả có thể xảy ra ta được .

 Tương tự như vậy, GV yêu cầu các nhóm thực hiện và nêu đáp án.

+ GV quan sát và hỗ trợ nếu cần.

- ý b) Với các giá trị  vừa tìm được ở ý a) HS viết vào bảng 1.

- GV nhận xét: “Bảng 1 chính là bảng phân bố xác suất, và các bước thực hiện ở ý a) chính là đi tìm xác suất cho một biến ngẫu nhiên rời rạc”.

- GV trình chiếu và cho HS ghi bài phần Định nghĩa trong khung kiến thức trọng tâm.

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 2

+ ý a) Gọi Phép thử : “Chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi trong hộp”. GV yêu cầu HS tìm không gian mẫu của  và các giá trị của .

 Từ đó cho HS nhân xét về tính ngẫu nhiên rời rạc của biến .

+ ý b) HS tìm số cách chọn ngẫu nhiên 3 viên bi trong 10 viên bi .

• Tính lần lượt xác suất của các giá trị của  vừa tìm được.

• Ví dụ:

 (tức là trong số 3 viên bi chọn ra, không có viên bi xanh).

• HS thực hiện tương tự để lập được bảng phân bố xác suất.

- HS thực hiện đọc – hiểu Ví dụ 3, sau đó GV chỉ định một số HS trình bày lại đáp án và giải thích cách thực hiện.

+ Nếu HS còn chưa nắm vững, GV cần giảng giải lại cho HS theo hướng dẫn trong SGK.

- GV chia lớp thành các nhóm ứng với các tổ trong lớp và cho các nhóm thực hiện Luyện tập 2.

+ Sau thời gian thảo luận, GV chỉ định một số bạn bất kì trong các nhóm thực hiện bài giải trên bảng và nhận xét bài làm.

+ GV chữa bài chi tiết, và lưu ý kinh nghiệm làm bài cho HS.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

II. Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

HĐ2

a)

+ Tính :

có 1 kết quả có thể xảy ra

+ Tính :

, có 2 cách xảy ra:  hoặc

+ Tính :

, có 1 cách xảy ra:

b)

Định nghĩa

Giả sử  là một biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là . Giả sử xác suất để  nhận giá trị  bằng , tức là  với . Các thông tin về  như vậy được trình bày dưới dạng như bảng sau:

Bảng trên được gọi là bảng phân bố xác suất (hay gọi tắt là phân bố xác suất) của biến ngẫu nhiên rời rạc .

Người ta chứng minh được rằng

Ví dụ 2: SGK – tr.7

Hướng dẫn giải: SGK – tr.7

Ví dụ 3: SGK – tr.8

Hướng dẫn giải: SGK – tr.8

Luyện tập 2

a) Số cách chọn 3 học sinh từ 10 học sinh:

Biết ngẫu nhiên rời rạc  chỉ có thể nhận các giá trị: .

Ta có:

b) Xác suất để có ít nhất 1 học sinh kết quả học tập Tốt:

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS đọc đề bài HĐ3 và làm theo hướng dẫn của GV để hoàn thành HĐ:

+ ý a) GV chỉ định 1 HS nêu cách tính khối lượng trung bình của 10 quả cầu.

+ ý b) GV: “Xác suất của mỗi trường hợp được tính bằng cách chia số lượng quả cầu có khối lượng tương ứng cho tổng số quả cầu”.

• Ví dụ:  (tức là xác suất chọn được quả cầu có khối lượng 1 kg)

• HS thực hiện tương tự với các trường hợp còn lại, từ đó tính được .

+ ý c) GV chỉ định 1 HS nhận xét ý c).

- Từ kết quả của HĐ3, GV khái quát và giới thiệu khái niệm Kì vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc và công thức để tính kì vọng.

- GV khơi gợi về ý niệm của Kì vọng, giảng giải cho HS thấy được kì vọng cũng được gọi là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên rời rạc.

- GV hướng dẫn HS thực hiện Ví dụ 4

+ ý a) Với số tiền cọc

• Nếu ta thua thì ta sẽ nhận về số tiền là .

• Nếu thắng thì ta sẽ nhận được .

 Vậy tập giá trị của  là gì?

• HS tính  và .

 Từ đó sẽ lập được bảng phân bố xác suất của .

+ ý b) Sử dụng công thức tính Kì vọng để tính . Từ đó sẽ kết luận được ý c).

- GV chia lớp thành 4 nhóm và thực hiện Luyện tập 3

+ Các nhóm thảo luận và đưa ra đáp án của Luyện tập

+ Nhóm nhanh và chính xác nhất sẽ được nhận điểm khích lệ chuyên cần từ GV.

+ GV nhận xét và chữa bài chi tiết cho HS.

- HS cần rút ra được những lợi ích của kì vọng.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

III. Kì vọng

HĐ3

a) Khối lượng trung bình của 10 quả cầu được tính bằng cách lấy tổng khối lượng của tất cả các quả cầu và chia cho số lượng quả cầu:

b)

c) Khối lượng trung bình của 10 quả cầu bằng  

Định nghĩa

Cho  là biến có ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là  và ,

Kì vọng của , kí hiệu là , là một số được tính theo công thức:

…

Nhận xét:

+ Kì vọng là một số cho ta ý niệm về độ lớn trung bình của . Vì thế kì vọng  còn được gọi là giá trị trung bình của .

+ Kì vọng của  không nhất thiết thuộc tập giá trị của .

Ví dụ 4: SGK – tr.9

Hướng dẫn giải: SGK – tr.9

Luyện tập 3

Công thức tính kì vọng:

…

Các giá trị có thể của  là

Nhận xét: Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh, nếu cần chọn phương án cho năng suất hay lợi nhuận cao, người ta chọn phương án sao cho năng suất kì vọng hay lợi nhuận kì vọng cao.

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai HĐ4 và cho HS thực hiện cá nhân phần HĐ này.

+ ý a) HS thực hiện tính kì vọng  của Ví dụ 2 dựa vào công thức

…

 Sau đó thực hiện tính  theo yêu cầu.

b) HS tính

+ GV mời 2 HS lên bảng thực hiện lời giải.

+ HS dưới lớp quan sát, nhận xét bài làm của bạn.

- Từ kết quả của HĐ, GV nhận xét:  lần lượt được gọi là phương sai, độ lệch chuẩn của .

- GV trình chiếu Định nghĩa trong khung kiến thức trọng tâm cho HS ghi bài.

- GV giảng giải về ý niệm của phương sai và độ lệch chuẩn, và đơn vị đo của độ lệch chuẩn cho HS.

- GV có thể có HS biến đổi công thức  

Bằng cách nhân phá ra để được công thức:

….

 Công thức này thường được sử dụng hơn vì nó ngắn gọn hơn.

- HS đọc hiểu Ví dụ 5 và trình bày lại vào vở.

+ GV mời một số HS trình bày lại đáp án và giải thích cách thực hiện.

- GV chia lớp thành 4 nhóm và yêu cầu các nhóm thảo luận và thực hiện Luyện tập 4.

+ Sau thảo luận, GV cho các nhóm thực hiện vào bảng phụ và trình bày trước lớp.

+ GV quan sát, nhận xét, đánh giá và chữa bài cho các nhóm.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

IV. Phương sai và độ lệch chuẩn

HĐ4

a) …

b)

Nhận xét: Các số thực không âm  lần lượt được gọi là phương sai, độ lệch chuẩn của .

Định nghĩa

Cho  là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là  và .

+ Phương sai của , kí hiệu , là số thực được tính theo công thức:

+ Căn bậc hai (số học) của phương sai, kí hiệu , được gọi là độ lệch chuẩn của , nghĩa là .

Nhận xét:

+ Phương sai là số không âm, cho biết mức độ phân tán các giá trị của  xung quanh giá trị trung bình. Phương sai lớn thì độ phân tán lớn.

+ Độ lệch chuẩn cùng đơn vị đo với .

Chú ý

Bằng cách biến đổi biểu thức tính , ta có: ….

Trong thực hành ta dùng công thức này để tính phương sai.

Ví dụ 5: SGK – tr.10

Hướng dẫn giải: SGK – tr.10

Luyện tập 4

Kì vọng:  

=>