HOẠT ĐỘNG CỦA GV- HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập.

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Tính đơn điệu của hàm số” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập.

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận.

- Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập.

- GV đưa ra nhận xét, đánh giá chuẩn kiến thức.

1. Nhận biết tính đơn điệu của hàm số.

Cho hàm số  có đạo hàm trên tập , trong đó  là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

Ví dụ: Các khoảng đơn điệu của hàm số

- Hàm số đã cho có tập xác định là

- Ta có:

Ta có bảng xét dấu của  như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên  và nghịch biến trên .

Cho hàm số  có đạo hàm trên tập  trong đó  là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Nếu  (hoặc ) với mọi  thuộc  và  chỉ tại một số hữu hạn điểm của  thì hàm số  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên   

Ví dụ: Các khoảng đơn điệu của hàm số

- Hàm số đã cho có tập xác định

- Ta có:  với ;

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số nghịch biến trên  và .

2. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số.

Cho hàm số  liên tục trên tập  trong đó  là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng và

-  được gọi là một điểm cực đại của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng  chứa điểm  sao cho  và  với mọi  và

Khi đó,  được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu là .

-  được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng  chứa điểm  sao cho  và  với mọi  và

Khi đó,  được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số đã cho, kí hiệu là .

- Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị).

Chú ý: Nếu  là một điểm cực trị của hàm số  thì người ta nói rằng hàm số  đạt cực trị tại điểm . Khi đó, điểm  được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số

Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số  hãy chỉ ra các điểm cực trị của đồ thị.

- Xét khoảng  chứa điểm . Quan sát đồ thị của hàm số  ta thấy:

 với mọi  và .

Vậy  là điểm đại của hàm số

-  Xét khoảng  chứa điểm . Quan sát đồ thị của hàm số  ta thấy:

 với mọi  và .

Vậy  là điểm tiểu của hàm số

Định lí:

Giả sử hàm số  liên tục trên khoảng  chứa điểm  và có đoạ hàm trên các khoảng  và . Khi đó:

a) Nếu  với mọi điểm  và  với mọi điểm  thì hàm số  đạt cực tiểu tại điểm

b)  Nếu  với mọi điểm  và  với mọi điểm  thì hàm số  đạt cực đại tại điểm

Ví dụ: Tìm điểm cực trị của hàm số

- Hàm số có tập xác định là .

- Ta có:

              hoặc .

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại  và đạt cực tiểu tại .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm.

Phương pháp giải:

- Tìm tập xác định của hàm số.

- Tính , tìm các điểm  mà tại đó đạo hàm bằng  hoặc không xác định.

- Lập bảng biến thiên (sắp xếp các điểm  theo thứ tự tăng dần và xét dấu đạo hàm).

- Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến.

Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

Bài 3: Chứng minh rằng:

a. Hàm số  luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b. Hàm số  luôn đồng biến trên .

c. Hàm số  luôn nghịch biến trên .

d. Hàm số  luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

DẠNG 1:

Bài 1:

a.

- Hàm số đã cho có tập xác định là

- Ta có:

               hoặc

 Ta có bảng xét dấu của  như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  và ; hàm số nghịch biến trên khoảng .

b.

- Hàm số đã cho có tập xác định là

- Ta có:

               hoặc

 Ta có bảng xét dấu của  như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ; hàm số nghịch biến trên khoảng  và .

c.

- Hàm số đã cho có tập xác định là

- Ta có:

(Vì )

               với mọi .

 Ta có bảng xét dấu của  như sau:

Vậy hàm số nghịch biến trên .

d.

- Hàm số đã cho có tập xác định là

- Ta có:

 Ta có bảng xét dấu của  như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ; hàm số nghịch biến trên khoảng .

Bài 2:

a.

- Hàm số đã cho có tập xác định

- Ta có:  với ;

- Ta có bảng xét dấu của  như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên  và .

b.

- Hàm số đã cho có tập xác định

- Ta có:  với ;

- Ta có bảng xét dấu của  như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên  và .

c.

- Hàm số đã cho có tập xác định .

- Ta có:

- Ta có bảng xét dấu của  như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên  và nghịch biến trên.

d.

- Hàm số đã cho có tập xác định .

- Ta có:  với mọi  thuộc

             (vì )

Vậy hàm số nghịch biến trên

Bài 3:

a.

- Hàm số đã cho có tập xác định

- Ta có:  với ;

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên  và .

b.

- Hàm số đã cho có tập xác định

- Ta có:  với mọi .

(vì

Vậy hàm số đồng biến trên

c.

- Hàm số đã cho có tập xác định là

- Ta có:  với mọi .

(vì )

Vậy hàm số nghịch biến trên

d.

- Hàm số đã cho có tập xác định

- Ta có:  với mọi

Vậy hàm số nghịch biến trên  và .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng cho trước.

* Hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng cho trước.

Phương pháp giải:

- Kiểm tra tập xác định của hàm số.

- Tính  và tìm điều kiện của tham số để  hoặc  trên khoảng .

* Hàm số đồng biến, nghịc biến trên tập xác định.

Phương pháp giải:

- Đối với hàm đa thức bậc ba:

Tính , khi đó:

· Hàm số  đồng biến trên ℝ  và .

· Hàm số  nghịch biến trên ℝ  và .

- Đối với hàm phân thức bậc nhất:

Tính  khi đó:

· Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi  hay .

· Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi  hay .

Bài 1: Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định.

a.

b. .

c.

Bài 2: Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên tập xác định.

a.

b. .

c.

Bài 3: Tìm  để hàm số:

a.  đồng biến trên nửa đoạn.

b.  đồng biến trên khoảng .

c.  nghịch biến trên khoảng .

DẠNG 2:

Bài 1:

a.

- Tập xác định của hàm số là: ℝ.

- Ta có:

Hàm số đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi:

 và .

.

Vậy với  thì hàm số  đồng biến trên tập xác định ℝ.

b. 

- Tập xác định của hàm số là: .

- Ta có:  

Hàm số đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi:

 hay   hoặc .

Vậy với  hoặc  thì hàm số  đồng biến trên  và

.

c.

- Tập xác định của hàm số là:

- Ta có:

Hàm số đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi:

 và .

Vậy với  thì hàm số  đồng biến trên

Bài 2:

a.

- Tập xác định của hàm số là:

- Ta có:

Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi:

 và .

.

Vậy với  thì hàm số  nghịch biến trên

b.

- Tập xác định của hàm số là: .

- Ta có:  

Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi:

 hay  .

Vậy với  thì hàm  số nghịch biến trên  và

.

c.

- Tập xác định của hàm số là:

- Ta có:

Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi:

 và .

.

Vậy với  thì hàm số

 nghịch biến trên

Bài 3:

a.

- Tập xác định của hàm số là:

- Ta có:

Để hàm số đồng biến trên nửa đoạn .thì  với mọi .

với mọi .

với mọi .

với mọi .

- Đặt  

- Ta có:

- Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:  với mọi .

với mọi .

Vậy với  thì hàm số  đồng biến trên nửa đoạn.

b.

- Tập xác định của hàm số là: .

- Ta có:  

Để hàm số đồng biến trên khoảng  thì:

Vậy với  thì hàm số  đồng biến trên khoảng .

c.

 - Tập xác định của hàm số là:

- Ta có:

Để hàm số nghịch biến trên khoảng  thì  với mọi .

với mọi .

với mọi .

với mọi . 

- Đặt  

- Ta có:  hoặc

- Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:  đồng biến trên khoảng .

Vậy với  thì hàm số  nghịch biến trên khoảng .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 3

DẠNG 3: Tìm điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số.

Phương pháp giải:

- Tìm tập xác định của hàm số

- Tính  Giải phương trình  để tìm các nghiệm

- Sắp xếp các điểm  theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên (xét dấu ) và nêu kết luận về cực trị.

Bài 1: Tìm cực trị và giá trị cực tiểu  của các hàm số sau:

Bài 2: Tìm cực trị và giá trị cực đại  của các hàm số sau:

Bài 3: Tìm  để hàm số  có cực trị.