CHƯƠNG 8: TAM GIÁC

BÀI 5: ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

1. ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

Bài 1: Lấy một mảnh giấy như trong hình 1a, gọi một mép cắt là đoạn thẳng AB. Sau đó gấp mảnh giấy sao cho điểm A trùng với điểm B ( hình 1b). Theo em nếp gấp xy có vuông góc với một đoạn AB tại trung điểm hay không?Tại sao ?

Đáp án:

xy ⊥ AB tại trung điểm O.

Bài 2: Trong hình 4, hãy cho biết BD có là đường trung trực của đoạn thẳng AC hay không? Tại sao?

Đáp án:

Có BC ⊥ AB

           MM' // BC  

 MM' ⊥ AB hay MM' ⊥ AN

Tương tự ta có : NN' ⊥ AB , PP' ⊥ NB

AM = MN M là trung điểm của AN. Mà M'M ⊥ AN

 MM' là đường trung trực của AN

NP = PB P là trung điểm của NB. Mà PP' ⊥ NB

 PP' là đường trung trực của NB

 AM = MN = NP= PB  AN= NB  N là trung điểm của AB

NN' ⊥ AB. N là trung điểm của AB  NN' là đường trung trực của AB.

Bài 3: Trong Hình 4, hãy cho biết BD có đường trung trực của đoạn thẳng AC hay không. Tại sao?

Đáp án:

Xét ∆APD và ∆CPD có :

AD = CD

DP chung

 =  

 ∆APD = ∆CPD (g.c.g)

  =   

mà  +   = 180°

 2  = 180°

  = 90°

 DP ⊥ AP hay DP ⊥ AC

Mà P là trung điểm của AC

 DP là đường trung trực của AC, hay DB là đường trung trực của AC.

2. TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC

Bài 1: Cho đoạn thẳng AB lấy O là trung điểm và d là đường trung trực. Lấy M tùy ý thuộc d ( Hình 5). Chứng minh rằng hai tam giác MOA và MOB bằng nhau, từ đó suy ra MA = MB.

Đáp án:

d là đường trung trực của AB tại điểm O

 ∆MOA và ∆MOB là hai tam giác vuông tại O.

Xét ∆MOA và ∆MOB cùng vuông tại đỉnh O ta có:

MO chung

AO = OB ( O là trung điểm của AB)

 ∆MOA = ∆MOB (hai cạnh góc vuông)

 MA = MB.

Bài 2: Trong hình 8, cho biết d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc đường thẳng d, MA = x + 2 và MB = 7. Tính x.

Đáp án:

M thuộc đường thẳng d mà d là đường trung trực của AB

 MA = MB

 x + 2 = 7 

 x = 7 - 2 = 5.

Vậy x = 5.

Bài 3: Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB bằng thước thẳng và compa theo hướng dẫn sau

• Lấy A làm tâm vẽ cung tròn bán kính lớn hơn 1/2 AB ( Hình 9a).
• Lấy B làm tâm vẽ cung tròn có bán kính bằng bán kính trên ( Hình 9b).
• Hai cung tròn này cắt nhau tại M và N ( Hình 9c). Dùng thước vẽ đường thẳng MN.

Hãy chứng minh đường thẳng MN chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Đáp án:

Ta có M thuộc 2 đường tròn tâm A và B

Mà bán kính đường tròn tâm A bằng với bán kính đường tròn tâm B

 MA = MB

 M cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng B

 M thuộc đường trung trực của AB

Tương tự ta có NA = NB

 N cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng AB

 N thuộc đường trung trực của AB

 MN là đường trung trực của AB.

BÀI TẬP

Bài 1: Hình 10 minh họa một tờ giấy có hình vẽ đường trung trực xy của đoạn thẳng AB mà hình ảnh điểm B bị nhòe mất. Hãy nêu cách xác định điểm B

Đáp án:

Gọi O là giao điểm của đường trung trực xy với đoạn thẳng AB

O là trung điểm của AB

Lấy điểm B thuộc đường thẳng OA sao cho O là trung điểm AB.

Bài 2: Quan sát hình 11, cho biết M là trung điểm BC, AM vuông góc với BC và AB = 10 cm. Tính AC.

Đáp án:

M là trung điểm của BC

AM ⊥ BC

 AM là đường trung trực của BC

 AB = AC 

 AC =10 cm.

Bài 3: Quan sát hình 12, cho biết AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC và DB = DC = 8 cm. Chứng minh rằng 3 điểm A, M, D thẳng hàng.

Đáp án:

AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC

 AB = AC, MB = MC

Ta có DB = DC = 8 cm

 D cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng AB

 D thuộc đường trung trực của AB

 A, M, D cùng thuộc đường trung trực của AB

 A, M, D thẳng hàng.

Bài 4: Quan sát hình 13, biết AB = AC, DB = DC. Chứng minh rằng M là trung điểm của BC

Đáp án:

AB = AC  A thuộc đường trung trực của BC

DB= DC  D thuộc đường trung trực của BC

 AD là đường trung trực của BC

Mà AD cắt BC tại M

 M cũng thuộc đường trung trực AD

 MB = MC

mà M thuộc BC

 M là trung điểm của BC.     

Bài 5: Cho hai điểm M và N nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng EF

Chứng minh rằng ∆EMN = ∆FMN.

Đáp án:

M, N thuộc đường trung trực d của đoạn thẳng EF

=> ME = MF, NE= NF

Xét ∆EMN và ∆FMN ta có:

ME = MF

NE = NF

MN chung 

 ∆EMN = ∆FMN (c.c.c)

Bài 6: Trên bản đồ quy hoạch một khu dân cư có một con đường d và hai điểm dân cư A và B ( Hình 14 ). Hãy tìm bên đường một địa điểm M để xây dựng một trạm y tế sao cho trạm y tế cách đều hai điểm dân cư.

Đáp án:

Gọi N là trung điểm của AB.

Qua N kẻ đường trung trực của đoạn thẳng AB, cắt đường thẳng d tại 1 điểm M.

=> M thuộc đường trung trực của AB

=> MA = MB

Vậy vị trí điểm M là nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.