Giáo án powerpoint dạy thêm Toán 11 cánh diều Chương 3 Bài 3: Hàm số liên tục

THÂN MẾN CHÀO ĐÓN CẢ LỚP ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY! 

KHỞI ĐỘNG 

+ Hàm số y=f(x) có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu? 

BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC 

HỆ THỐNG KIẾN THỨC 

1. Khái niệm
2. a) Hàm số liên tục tại một điểm

- Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x_0∈(a;b).  

Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại x_0 nếu lim┬(x→x_0 )⁡〖f(x)〗=f(x_0) 

- Nhận xét: Hàm số y=f(x) không liên tục tại x_0 được gọi là gián đoạn tại x_0. 

1. b) Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn

- Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. 

- Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu hàm số đó liên tục trên khoảng (a; b) và lim┬(x→ a^+ )⁡〖f(x)〗=f(a);   lim┬(x→ b^- )⁡〖f(x)〗=f(b)   

* Chú ý: Khái niệm hàm số liên tục trên các tập hợp có dạng: (a; b]; [a; b); (a; +∞);[a; +∞);(-∞;a);(-∞;a];(-∞; +∞) được định nghĩa tương tự. 

2. Một số định lí cơ bản
3. a) Tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản

* Định lí: 

- Các hàm đa thức và hai hàm số lượng giác y=sin⁡x, y=cos⁡x liên tục trên R. 

- Các hàm phân thức hữu tỉ và hai hàm số lượng giác y=tan⁡x, y=cot⁡〖 x〗 liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. 

- Hàm căn thức y=√x liên tục trên nửa khoảng [0;+∞). 

1. b) Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục

Giả sử y=f(x) và y=g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x_0.  

Khi đó: 

- Các hàm số y=f(x)+g(x), y=f(x)-g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x_0 

- Hàm số y=f(x)/g(x)  liên tục tại x_0 nếu g(x_0 )≠0 

LUYỆN TẬP 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1 

DẠNG 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 

Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x=3 

1. a) f(x)={■8((x^3-27)/(x^2-x-6) " khi" x≠3@10/3 " khi" x=3)┤ ;             b) f(x)={■8((x-3)/(√(2x+3)-3) "khi " x<3@(x-1)^2 "khi " x≥3)┤

Giải: 

1. a) Hàm số xác định trên R

Ta có f(3)=10/3 và  lim┬(x→3) f(x)=lim┬(x→3)  (x^3-27)/(x^2-x-6)=lim┬(x→3)  ((x-3)(x^2+3x+9))/((x-3)(x+2)) 

                   =lim┬(x→3)  (x^2+3x+9)/(x+2)=27/5≠f(3). 

Vậy hàm số không liên tục tại x=3. 

1. b) Ta có f(3)=4 và  lim┬(x→3^+ ) f(x)=lim┬(x→3^+ ) (x-1)^2=4;

lim┬(x→3^- ) f(x)=lim┬(x→3^- )  (x-3)/(√(2x+3)-3)=lim┬(x→3^- )  (√(2x+3)+3)/2=3≠lim┬(x→3^+ ) f(x)  

Vậy hàm số gián đoạn tại x=3. 

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra 

1. a) f(x)={█(&x^2+1" khi  " x≠1@&"2             khi  " x=1)┤ tại điểm x_0=1  
2. b) f(x)={█(&|x^2-x-2|/(x+1) " khi " x≠-1@&1" khi  " x=-1 )┤ 

Giải: 

1. a) Ta có f(1)=2và lim┬(x→1) f(x)=lim┬(x→1) (x^2+1)=2=f(1)

Vậy hàm số liên tục tại điểm x=1. 

1. b) Ta có f(-1)=1

lim┬(x→-1^+ ) f(x)=lim┬(x→-1^+ )  |(x+1)(x-2)|/(x+1)=lim┬(x→-1^+ ) (2-x)=3  

lim┬(x→-1^- ) f(x)=lim┬(x→-1^- )  |(x+1)(x-2)|/(x+1)=lim┬(x→-1^- ) (x-2)=-3≠lim┬(x→-1^+ ) f(x)  

Suy ra không tồn tại giới hạn của hàm số y=f(x) khi x→-1. 

Bài 3: Tìm a để hàm số sau liên tục tại x=2 

1. a) f(x)={■8((∛4x-2)/(x-2) " khi  " x≠2@a" khi  " x=2)┤ b) f(x)={■8((x^4-5x^2+4)/(x^3-8) " khi " x<2@ax^2+x+1"   khi " x≥2)┤ 

Giải: 

1. a) Ta có f(2)=a và   lim┬(x→2) f(x)=lim┬(x→2)  (∛4x-2)/(x-2)=lim┬(x→2)  4/(∛((4x)^2 )+2∛4x+4)=1/3

Hàm số liên tục tại điểm x=2⇔lim┬(x→2) f(x)=f(2)⇔a=1/3. 

1. b) Ta có : lim┬(x→2^- ) f(x)=lim┬(x→2^- )  (x^4-5x^2+4)/(x^3-8)=lim┬(x→2^- )  ((x^2-1)(x+2))/(x^2+2x+4)=1

lim┬(x→2^+ ) f(x)=lim┬(x→2^+ ) (ax^2+x+1)=4a+3=f(2)  

Hàm số liên tục tại x=2⇔lim┬(x→2^+ ) f(x)=lim┬(x→2^- ) f(x)=f(2) 

⇔4a+3=1⇔a=-1/2. 

Bài 4:  

1. a) Tìm a để các hàm số f(x)={█(&(√(4x+1)-1)/(ax^2+(2a+1)x) " khi  " x≠0@&3" khi  " x=0 )┤ liên tục tại x=0 
2. b) Tìm a để các hàm số f(x)={█(&(√(3x+1)-2)/(x^2-1) " khi " x>1@&(a(x^2-2))/(x-3) " khi  " x≤1)┤ liên tục tại x=1 

Giải: 

1. a) Ta có : lim┬(x→0) f(x)=lim┬(x→0)  (√(4x+1)-1)/x(ax+2a+1) =lim┬(x→0)  4/(ax+2a+1)(√(4x+1)+1) =2/(2a+1)

Hàm số liên tục tại x=0⇔2/(2a+1)=3⇔a=-1/6. 

1. b) Ta có : lim┬(x→1^+ ) f(x)=lim┬(x→1^+ )  (√(3x+1)-2)/(x^2-1)=3/8

lim┬(x→1^- ) f(x)=lim┬(x→1^- )  (a(x^2-2))/(x-3)=a/2  

Suy ra hàm số liên tục tại x=1⇔a/2=3/8⇒a=3/4 

Bài 5: a) Cho hàm số  f(x)={█(&(x^2-x-2)/√(x-2)+2x"       khi " x>2@&x^2-x+3"         khi " x≤2)┤   

Xét tính liên tục của f(x) tại x_0=2 

1. b) Tìm a để các hàm số f(x)={■8(x+2a            "khi " x<0@x^2+x+1    "khi" x≥0)┤ liên tục tại x=0

Giải: 

1. a) Ta có : lim┬(x→2^+ ) f(x)=lim┬(x→2^+ ) [((x+1)(x-2))/√(x-2)+2x]=4

lim┬(x→2^- ) f(x)=lim┬(x→2^- ) (x^2-x+3)=5≠lim┬(x→2^+ ) f(x)  

Hàm số không liên tục tại x_0=2. 

1. b) Ta có : lim┬(x→0^+ ) f(x)=lim┬(x→0^+ ) (x^2+x+1)=1

lim┬(x→0^- ) f(x)=lim┬(x→0^- ) (x+2a)=2a  

Suy ra hàm số liên tục tại x=0⇔a=1/2. 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2 

DẠNG 2:  

Xét tính liên tục của hàm số  trên một tập (một khoảng) 

...