Giáo án và PPT Toán 7 cánh diều Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

BÀI 11: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:

Bạn Ngân gấp một miếng bìa hình tam giác để các nếp gấp tạo thành ba tia phân giác của các góc ở đỉnh của tam giác đó.

Ba nếp gấp đó có đặc điểm gì?

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

Hoạt động 1: Đường phân giác của tam giác

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ1.

- GV đặt câu hỏi: Nêu khái niệm đường phân giác của tam giác.

- HS thực hiện Ví dụ 1: HS nhận diện và thể hiện khái niệm đường phân giác.

- HS thực hiện Ví dụ 2: HS chứng minh một đoạn thẳng là đường phân giác của tam giác.

- HS thực hiện LT1: HS củng cố khái niệm đường phân giác của tam giác, đồng thời củng cố kiến thức về các trường hợp bằng nhau của tam giác, đường trung tuyến của tam giác.

- HS thực hiện Ví dụ 3: HS vẽ đường phân giác của tam giác sử dụng thước thẳng và compa.

- GV đặt câu hỏi: Mỗi tam giác có bao nhiêu đường phân giác?

Từ đó có nhận xét.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ1:

A là đỉnh của tam giác ABC, D là giao điểm của đường phân giác của góc A và cạnh BC.

Kết luận:

Trong tam giác

tia phân giác của góc cắt cạnh tại điểm . Khi đó, đoạn thẳng được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh ) của tam giác .

Chú ý:

Đôi khi đường thẳng AD cũng được gọi là đường phân giác của tam giác ABC.

Ví dụ 1 (SGK -tr108)

- Đoạn thẳng AD là đường phân giác của tam giác ABC.

- Đoạn thẳng BE không là đường phân giác của tam giác ABC.

Ví dụ 2 (SGK – tr108)

LT1:

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Do AD là đường phân giác của ∆ABC nên .

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

AB = AC (chứng minh trên).

AD chung.

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c - g - c).

Suy ra BD = CD (2 cạnh tương ứng).

Mà D nằm giữa B và C nên D là trung điểm của BC hay AD là đường trung tuyến của ∆ABC.

Ví dụ 3 (SGK -tr109)

Ta vẽ đường phân giác của tam giác như sau:

Bước 1. Bằng thước thẳng và compa vē tia phân giác của góc  

Bước 2. Vẽ là giao điểm của tia với cạnh .

Ta vẽ các đường phân giác xuất phát từ đỉnh và đỉnh của tam giác bằng cách tương tự.

Nhận xét:

Mỗi tam giác có ba đường phân giác.

Hoạt động 2: Tính chất ba đường phân giác của tam giác 

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ2. HS quan sát hình ảnh và dự đoán ba đường phân giác có cùng đi qua một điểm hay không.

- GV đặt câu hỏi: Nêu định lý ba đường phân giác đồng quy. Để xác định giao điểm của ba đường phân giác của tam giác, ta cần làm gì?

- HS thực hiện Ví dụ 4.

- HS làm LT2.

- HS thực hiện HĐ3. GV đặt câu hỏi: Giao điểm ba đường phân giác của một tam giác có tính chất gì? 

+ HS thảo luận nhóm đôi: Tìm hiểu cách chứng minh và trình bày lời giải.

- HS thực hiện Ví dụ 5.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ2:

Ta thấy ba đường phân giác AD, BE, CK của tam giác ABC cùng đi qua điểm I.

Định lí:

Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm

Nhận xét:

Để xác định giao điểm ba đường phân giác của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường phân giác bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

Ví dụ 4 (SGK -tr110)

LT2:

Ta thấy đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I nên I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.

Do đó AI là đường phân giác của 

.

HĐ3:

IP = IM = IN.

Nhận xét:

Giao điểm ba đường phân giác của một tam giác cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Kết luận:

Trong tam giác ABC, ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác.

Chứng minh:

Vẽ các đường phân giác của các góc và cắt nhau tại . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên các cạnh (Hinh 117).

Vì I nằm trên tia phân giác của góc nên . Tương tự ta có .

Suy ra . Do đó điểm nằm trên đường phân giác của góc .

Vậy ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua điểm .

Mặt khác, ta có: . Vậy điểm cách đều ba cạnh của tam giác .

Ví dụ 5 (SGK -tr110)

LT3:

+) Chứng minh IA là đường trung trực của NP.

Do IP = IN nên I thuộc đường trung trực của NP.

Xét ∆AIP vuông tại P và ∆AIN vuông tại N có:

AI chung.

IP = IN (theo giả thiết).

Do đó ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra AP = AN (2 cạnh tương ứng).

Do AP = AN nên A thuộc đường trung trực của NP.

Do đó IA là đường trung trực của NP.

+) Chứng minh IB là đường trung trực của PM.

Do IP = IM nên I thuộc đường trung trực của PM.

Xét ∆BIP vuông tại P và ∆BIM vuông tại M có:

BI chung.

IP = IM (theo giả thiết).

Do đó ∆BIP = ∆BIM (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra BP = BM (2 cạnh tương ứng).

Do BP = BM nên B thuộc đường trung trực của PM.

Do đó IB là đường trung trực của PM.

+) Chứng minh IC là đường trung trực của MN.

Do IM = IN nên I thuộc đường trung trực của MN.

Xét ∆CIM vuông tại M và ∆CIN vuông tại N có:

CI chung.

IM = IN (theo giả thiết).

Do đó ∆CIM = ∆CIN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra CM = CN (2 cạnh tương ứng).

Do CM = CN nên C thuộc đường trung trực của MN.

Do đó IC là đường trung trực của MN.

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Từ nội dung bài học, GV yêu cầu HS hoàn thành các bài tập trắc nghiệm sau:

Câu 1: Cho tam giác ABC có . Hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở O. Số đo góc BAO là:

A. 25^o

B. 30^o

C. 35^o

D. 40^o,

Câu 2. Cho tam giác OAB cân, OA = OB, . Hãy so sánh và

A. < .

B. >

C. =

Câu 3: Cho tam giác ABC, vẽ tia phân giác của góc A và tia phân giác của góc ngoài tại B, chúng cắt nhau tại M. vẽ phân giác của góc ABC cắt AM tại N.

A. Điểm M cách đều ba cạnh của tam giác

B. Điểm M thuộc đường phân giác ngoài tại C

C. tam giác MBN vuông tại B

D. A, B, C đều đúng

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9cm, AC = 12cm. Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác của góc B và C, M là hình chiếu của I trên cạnh BC. Tính độ dài của IM.

A. IM = 3cm

B. IM = 5cm

C. IM = 8cm

D. A, B, C đều sai

Câu 5: Cho AB // CD, , AB = 12 cm, BC = 18 cm, CD = 30 cm. Tính chu vi tam giác ABD:

A. 36cm

B. 42cm

C. 48cm

D. 56cm

Sản phẩm dự kiến:

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Cho tam giác có các tia phân giác góc B và C cắt nhau tại I. Các đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B và C cắt nhau ở K. Chứng minh ba điểm A, I, K thẳng hàng.

Câu 2: Cho tam giác ABC có  các đường phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AC = AB + IB.