Nội dung chính Toán 10 Cánh diều Chương 7 Bài 3: Phương trình đường thẳng

CHƯƠNG VII. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG.

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

HĐ1:

+ Vẽ một đoạn thẳng bất kì song song với đường thẳng ∆.

+ Đánh dấu mũi tên chiều của đoạn thẳng đó, ta được 1 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Kết luận: 

Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu u0 và giá của u song song hoặc trùng với ∆. 

Nhận xét:

+ Nếu u là một vectơ chỉ phương của ∆ thì ku (k≠0) cũng là một vectơ chỉ phương của ∆.

+ Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. 

2. Phương trình tham số của đường thẳng

HĐ2:

1. Hai vectơ u và MoM cùng phương với nhau.
2. Xét điểm M(x; y) ∆. Vì MoM cùng phương với u nên có số thực t sao cho MoM=tu.
3. Do MoM=(x-xo;y-yo), u=(a;b) nên 

MoM=tu⟺{x-xo=at y-yo=bt ⟺{x=xo+at y=yo+bt I

Ngược lại, nếu điểm M (x; y) trong mặt phẳng toạ độ thoả mãn hệ (I) thì M(x; y) ∈∆. 

Kết luận:

Hệ {x=xo+at y=yo+bt  (a2 + b2 > 0 và t là tham số) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua M0(x0; y0) và nhận u=(a;b) làm vectơ chỉ phương. 

Nhận xét:

Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số là: 

{x=x0+at y=y0+bt (a2 + b2 > 0 và t là tham số)

+ Với mỗi giá trị cụ thể của t, ta xác định được một điểm trên đường thẳng ∆. Ngược lại, với mỗi điểm trên đường thẳng ∆, ta xác định được một giá trị cụ thể của t. 

+ Vectơ u=a;b là một vectơ chỉ phương của ∆.

Ví dụ 1 (SGK – tr74)

Luyện tập 1:

1. Gọi điểm A ∈∆ M(1 – 2t; -2 + t) 

+ Chọn t = 1 M1(-1;-1)

+ Chọn t = 0 M2(1;-2)

1. Thay điểm C(-1; -1) vào đường thẳng ∆ ta được:

{-1=1-2t -1=-2+t ⇔{t=1 t=1 ⇔t=1

Vậy C(-1; -1) ∈∆.

Thay toạ độ điểm D(1; 3) vào đường thẳng ∆ ta được:

{1=1-2t 3=-2+t ⟺{t=0 t=5 vô nghiệm

Vậy D(1; 3) ∉∆

II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG 

1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

HĐ3:

+ Vẽ một đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng ∆.

+ Vẽ hướng mũi tên trên đoạn thẳng đó, ta được vectơ chỉ phương thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Kết luận:

Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu n0 và giá của vectơ n vuông góc với ∆.

Nhận xét:

+ Nếu n là một vectơ pháp tuyến của ∆ thì kn (k0) cũng là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

+ Nếu đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là u=(a;b) thì vectơ n=-b;a là một vectơ pháp tuyến của ∆.

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng

HĐ4:

1. Phương của hai vectơ n và MoM vuông góc với nhau.
2. Ta có: MoM = (x - xo; y - yo), n=(a;b)

Xét điểm M(x; y) ∈∆. Vì M0Mn nên M0M.n=0⟺ax-x0+by-y0=0⟺ax+by-ax0-by0=0

Đặt c = -ax0-by0 ta được phương trình ax + by + c = 0 (II).

Ngược lại, nếu điểm M(x; y) trong mặt phẳng toạ độ thoả mãn phương trình (II) thì M(x; y) ∈∆.

Kết luận:

Phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. 

Nhận xét:

+ Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0;y0) và nhận n=(a;b) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

a(x - x0) + by-y0 = 0 ⟺ax+by+-ax0-by0=0.

+ Mỗi phương trình ax+by+c=0 (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng ∆ trong mặt phẳng toạ độ nhận một vectơ pháp tuyến là n=(a;b).

Ví dụ 2 (SGK – tr76)

Luyện tập 2:

1. + Toạ độ của một vectơ pháp tuyến của ∆ là: n=(1;-1).

+ Toạ độ vectơ chỉ phương của ∆ là: u=(1;1). 

2. + Chọn x = 0, thay vào phương trình đường thẳng ∆ ta được: 1 – y + 1 = 0 ⟺y=2.

Vậy điểm A(0; 1) thuộc đường thẳng ∆.

+ Chọn x = 1, thay vào phương trình đường thẳng ∆ ta được: 0 – y + 1 = 0 ⟺y=1.

Vậy điểm B(0; 1) thuộc đường thẳng ∆.

3. Những dạng đặc biệt của phương trình tổng quát.

HĐ5: 

a.

Nếu b = 0 và a 0 thì phương trình đường thẳng ∆ trở thành ax + c = 0. Khi đó đường thẳng ∆ song song hoặc trùng với trục Oy và cắt trục Ox tại điểm -ca;0.

Nếu b 0 và a = 0 thì phương trình đường thẳng ∆ trở thành by + c = 0. Khi đó đường thẳng ∆ song song hoặc trùng với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm 0;-cb

Nếu b 0 và a 0 thì phương trình đường thẳng ∆ có thể viết thành

y = -abx-cb

Khi đó, đường thẳng ∆ là đồ thị hàm số bậc nhất. 

y = -abx-cb với hệ số góc là k = -ab

Nhận xét:

+ Đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 (a hoặc b khác 0) là đồ thị hàm số bậc nhất khi và chỉ khi a 0 và b 0.

+ Phương trình trục hoành là y = 0, phương trình trục tung là x = 0. 

III. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 

1. Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến. 

Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0) và nhận n=a;b (n0) làm vectơ pháp tuyến là a(x – x0) + b(y – y0) = 0. 

2. Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0) và nhận u = (a; b) (u0) làm vectơ chỉ phương, nếu ab 0 thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng ∆ ở dạng:

x-x0a=y-y0b

3. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.

+ Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(x0; y0), B(x1; y1), nếu x0 x1 và y0 y1 thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng ∆ ở dạng:

x-x0x1-x0=y-y0y1-y0

+ Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) với ab 0 thì ta có thể viết phương trình của đường thẳng ∆ ở dạng: xa+yb=1 (*)

Phương trình dạng (*) được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a; 0) và B(0; b). 

Ví dụ 3 – 5 (SGK – tr 78, 79)