Nội dung chính Toán 10 Cánh diều Chương 7 Bài 5: Phương trình đường tròn

CHƯƠNG VII. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

1. Phương trình đường tròn 

HĐ1:

1. Khoảng cách từ gốc toạ độ O (0; 0) đến điểm M (3; 4) trong mặt phẳng toạ độ Oxy là: 

OM = OM=32+42=5

1. Với hai điểm I(a; b) và M(x; y) trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta có:

IM = (x-a)2+(y-b)2

Nhận xét: 

Với hai điểm I(a; b) và M(x; y) trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta có:

IM = (x-a)2+(y-b)2

HĐ2:

1. Mối liên hệ giữa x và y là: x2+y2=5
2. Mối liên hệ giữa x và y là: 

(x-a)2+(y-b)2=R2

Kết luận:

Phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R là: 

(x-a)2+(y-b)2=R2

Ví dụ 1, 2 (SGK – tr88)

Luyện tập 1:

Bán kính đường tròn tâm I là: 

IA = IA=22+(-3)2=13

Phương trình đường tròn tâm I(6; -4) đi qua điểm A(8; -7) là:

(x-6)2+(y+4)2=13

HĐ3:

Ta có: 

(x-a)2+(y-b)2=R2x2-2ax+a2+y2-2by+b2-R2=0⇔x2+y2-2ax-2by+c=0 (a2+b2-R2=c)

Nhận xét:

Ta có thể viết phương trình (x-a)2+(y-b)2=R2 của đường tròn tâm I(a; b) bán kính R về phương trình có dạng là x2+y2-2ax-2by+c=0. Dạng đó thường được gọi là phương trình tổng quát của đường tròn. 

Ví dụ 3 (SGK – tr88)

Luyện tập 2:

x2+y2+2kx+4y+6k-1=0

x2+2kx+k2+y2+4y+4=k2-6k+5

(x+k)2+(y+2)2=(k2-6k+5)2

Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn k2-6k+5>0

⟺k<1 hoặc k>5.

2. Phương trình đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Ví dụ 4 (SGK – tr89)

Luyện tập 3:

Giả sử tâm đường tròn là điểm I(a; b). Ta có:

IA = IB = IC IA2=IB2=IC2

Vì IA2=IB2,IB2=IC2 nên:

{1-a2+2-b2=5-a2+2-b2 5-a2+2-b2=1-a2+-3-b2

⇔{a=3 b=-12

Vậy I3;-12 và R = IA = (-2)2+522=412

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C là:

(x-3)2+y+122=414

II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

HĐ4:

1. Do ∆ là pháp tuyến của đường tròn (C) tại điểm Mo nên ∆ vuông góc với IMo. Vậy IMo là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.
2. Toạ độ IMo=(xo-a;yo-b)
3. Đường thẳng ∆ đi qua điểm Mo và có vectơ pháp tuyến IMo là: 

xo-ax-xo+yo-by-yo=0

Kết luận:

+ Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0) và có vectơ pháp tuyến 

IMo=(xo-a;yo-b)

+ Phương trình tiếp tuyến ∆ là

xo-ax-xo+yo-by-yo=0

Ví dụ 5 (SGK – tr90)

Luyện tập 4: 

Đường tròn tâm I(3; -7)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-1; -4) thuộc đường tròn x-32+y+72=25 là:

(-1 – 3)(x + 1) + (-4 + 7)(y + 4) = 0 ⟺ -4(x + 1) + 3(y + 4) = 0 -4x + 3y + 8 = 0. 

Ví dụ 6 (SGK – tr90)