Nội dung chính Toán 11 cánh diều Chương 4 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

CHƯƠNG IV. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG

BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

1. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

HĐ 1:

1. a) Trong Hình 44 đường thẳng d và mặt phẳng (P) không có điểm chung.

b)

Các khả năng xảy ra với số điểm chung của d và (P) là:

+ vô số điểm chung

+ 1 điểm chung

+ không có điểm chung.

Kết luận:

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P).

+ d ⊂ (P) hay P⊃d ⇔ d và (P) có hai điểm chung phân biệt trở lên.

+ d (P) =A ⇔d và (P) có 1 điểm chung duy nhất là A.

+ d // (P) d và (P) không có điểm chung.

Đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) nếu chúng không có điểm chung.

Ví dụ 1 (SGK -tr.102)

Luyện tập 1

Vị trí tương đối của xà ngang với mặt sàn là đường thẳng song song với mặt phẳng.

2. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT

HĐ 2

1. a) Do a’ ⊂ (P) và a’ ⊂ (Q) nên (P) ∩ (Q) = a’.

Mà a cắt (P) tại M nên M ∈ (P)

Lại có M ∈ a, a ⊂ (Q) nên M ∈ (Q)

Suy ra M là giao điểm của (P) và (Q).

Do đó giao tuyến a’ của hai mặt phẳng đi qua điểm M.

Vậy đường thẳng a cắt đường thẳng a’ tại M.

1. b) Theo câu a, nếu a cắt (P) tại M thì đường thẳng a và đường thẳng a’ cắt nhau tại M.

Điều này là mâu thuẫn với giả thiết là hai đường thẳng a và a’ song song.

Do đó a không có điểm chung với (P) nên a // (P).

Định lí 1 (Dấu hiệu nhận biết một đường thẳng song song với một mặt phẳng)

Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nằm trong (P) thì a song song với (P).

Ví dụ 2 (SGK -tr.102)

Luyện tập 2

Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác

Do đó MN // BC

Lại có BC ⊂ BCD,MN⊄(BCD) 

Suy ra MN // (BCD).

+) Chứng minh tương tự: NP // CD, CD ⊂ (BCD)

NP // (BCD).

+) Tương tự, MP // BD mà BD ⊂ (BCD) .

Suy ra MP // (BCD).

HĐ 3:

1. a) Ta có a ∩ b = {M} nên M ∈ b

Mà b ⊂ (P), do đó M ∈ (P).

Lại có M ∈ a.

Vậy đường thẳng a cắt mặt phẳng (P) tại M.

1. b) Theo câu a, nếu a cắt b tại M thì a cắt (P) tại M, điều này mâu thuẫn với giả thiết đường thẳng a song song với mặt phẳng (P).

Do đó a và b không cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng (Q).

Suy ra a // b.

Vậy hai đường thẳng a và b song song với nhau.

Định lí 2 (Tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng)

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì b song song với a.

Ví dụ 3 (SGK -tr.103)

Luyện tập 3

+) (R) đi qua M và song song với BD, mà BD ⊂ (ABD) nên mặt phẳng (R) cắt (ABD) theo giao tuyến a đi qua M và song song với BD.

+) Gọi N là giao điểm của p và BC. Khi đó N ∈ (R).

(R) đi qua N và song song với BD, mà BD ⊂ (BCD) nên mặt phẳng (R) cắt (BCD) theo giao tuyến b đi qua N và song song với BD.

+) Gọi P là giao điểm của a và AD, Q là giao điểm của b và CD.

Khi đó P ∈ (R) và P ∈ (ACD) nên P là giao điểm của (R) và (ACD);

Q ∈ (R) và Q ∈ (ACD) nên Q là giao điểm của (R) và (ACD).

Vậy PQ là giao tuyến của (R ) và (ACD).

HĐ 4

1. a) 

+) Ta có: M ∈ b và (P) ∩ (Q) = b. Suy ra M ∈ (P).

Mà M ∈ (M, a). Do đó M là giao điểm của (P) và (M, a).

Lại có b’ = (P) ∩ (M, a)

Suy ra đường thẳng b’ đi qua M.

Tương tự ta cũng chứng minh được b’’ đi qua điểm M.

+) Ta có: a // (P); a ⊂ (M, a); (M, a) ∩ (P) = b’. Do đó a // b’.

Tương tự ta cũng có a // b’’.

Do đó b’ // b’’.

Mặt khác: (P) ∩ (Q) = b; (M, a) ∩ (P) = b’; (M, a) ∩ (Q) = b’’; b // b’’.

Do đó b // b’ // b’’.

Mà cả ba đường thẳng cùng đi qua điểm M nên ba đường thẳng này trùng nhau.

1. b) Vì a // b’ nên a // b (do b ≡ b’).

Hệ quả của định lí 2

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Chú ý:

Cho hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Ví dụ 4 (SGK -tr.103)

Luyện tập 4

Ta có: a // (P); a // (Q); (P) ∩ (Q) = b.

Do đó theo hệ quả định lí 2 ta có a // b.