Nội dung chính Toán 7 cánh diều Chương VII. Bài 9 Đường trung trực của một đoạn thẳng

CHƯƠNG VII. TAM GIÁC

BÀI 9. ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

I. ĐỊNH NGHĨA

HĐ1:

1. a) Ta thấy IA = IB.
2. b) Ta thấy d ⊥ AB nên .

Kết luận:

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy.

Ví dụ:

+ Đoạn thẳng ; trung điểm  của đoạn thẳng ;

+ Đường thẳng  vuông góc với  tại .

Vì thế, đường thẳng  là đường trung trực của đoạn thẳng .

Ví dụ 1 (SGK -tr100)

LT1:

Ta có:  

mà  (hai góc kề bù).

Suy ra  hay AM ⊥ BC.

Ta có AM ⊥ BC tại trung điểm M của BC nên AM là đường trung trực của BC.

II. TÍNH CHẤT

HĐ2:

1. a) Xét ∆MOA vuông tại O và ∆MOB vuông tại O có:

MO chung.

OA = OB (theo giả thiết).

Do đó ∆MOA = ∆MOB (2 cạnh góc vuông).

1. b) Do ∆MOA = ∆MOB (2 cạnh góc vuông) nên MA = MB (2 cạnh tương ứng).

Kết luận:

Một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Ví dụ:

Gọi  là đường trung trực của đoạn thẳng . Lấy điểm  trên đường thẳng . Ta có .

Ví dụ 2 (SGK -tr101)

LT2:

Do O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OA = OB = 3 m.

Vậy chiều dài mái nhà bên phải là 3 m.

HĐ3:

1. a) Xét ∆MOA và ∆MOB có:

MO chung.

OA = OB (theo giả thiết).

MA = MB (theo giả thiết).

Do đó ∆MOA = ∆MOB (c - c - c).

1. b) Do ∆MOA = ∆MOB (c - c - c) nên OA = OB (2 cạnh tương ứng) và (2 góc tương ứng).

Do OA = OB và O nằm giữa A và B nên O là trung điểm của AB.

Do  mà  nên

Do đó MO ⊥ AB.

Khi đó MO vuông góc với AB tại trung điểm O của AB.

Vậy MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Kết luận:

Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Ví dụ:

Gọi  là đường trung trực của đoạn thẳng  là điểm sao cho . Ta có  nằm trên đường trung trực  của đoạn thẳng .

Ví dụ 3 (SGK -tr102)

LT3:

1. a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Do AB = AC nên A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

1. b) Xét ∆AHB vuông tại H và ∆AHC vuông tại H có:

AB = AC (chứng minh trên).

AH chung.

Do đó ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra HB = HC (2 cạnh tương ứng).

Mà H nằm giữa B và C nên H là trung điểm của BC.

Ta có AH vuông góc với BC tại trung điểm H của BC nên AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

III. VẼ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

HĐ4:

Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB = 3cm.

Bước l. Vẽ đoạn thẳng .

Bước 2. Vẽ một phần đường tròn tâm  bán kính

Bước 3. Vẽ một phần đường tròn tâm  bán kính , cắt phần đường tròn tâm  vẽ ở Bước 2 tại các điểm  và .

Bước 4. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm  và . Đường thẳng  là đường trung trực của đoạn thẳng .