Bài tập file word toán 10 cánh diều chương 5 Bài 4: Nhị thức Newton

BÀI 4 : NHỊ THỨC NEWTON (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Tìm hệ số của x6 trong khai triển (2x + 1)13

Trả lời:

Số hạng tổng quát :  . (2x)13 - k . (1)k = . 213-k. x13-k

Số hạng chứa x6 ⬄ 13 – k = 6 ⬄ k = 7

Vậy hệ số của x6 là : . 213-7 = 109824

Bài 2: Sử dụng công thức nhị thức Newton để khai triển (x + 7)3

Trả lời:

(x + 7)3 = . x3. 70 + . x2. 71 + . x1. 72 + . x0. 73

             = x3 + 21x2 + 147x + 343 + 343

Bài 3: Trong khai triển nhị thức Newton của ( 12x – 9)2023 có bao nhiêu số hạng ?

Trả lời:

Ta có : khai triển nhị thức Newton ( a + b)n có n + 1 số hạng

=> khai triển nhị thức Newton của ( 12x – 9)2023 có 2023 + 1 = 2024 ( số hạng)

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x của ( 3 – 2x)8

Trả lời:

38 - . 37. 2x + . 36. 4x2

Bài 2: Tìm số hạng thứ tư trong khai triển ( a – 2x)20 theo lũy thừa tăng dần của x.

Trả lời:

Số hạng thứ tư là : . a17. ( -2x)3 = -23. .a17.x3

Bài 3 : Tìm hệ số của x23y11  trong khai triển ( x3 + xy)15

Trả lời:

Số hạng tổng quát là : .(x3)15 -k.(xy)k = .x45 -2k.yk

Với 0 ≤ k ≤ 15 , số hạng chứa x23y11 ⬄ k = 11

Vậy hệ số của x25y10 là  = 1365

Bài 4: Trong khai triển ( 1 – 2x)20 = a0 + a1x + a2x2 + ... + a20x20. Tính a0 – a1 + a2

Trả lời:

Số hạng tổng quát là : .(-2) k . xk

a0 =  ; a1 = (-2). ; a2 = (-2)2.

=> a0 – a1 + a2 =  - (-2). - (-2). + (-2) + (-2)2. = 801

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Với n là số tự nhiên thỏa mãn  + n. + n. = 454. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển nhị thức Newton ( – x3)n

Trả lời:

Điều kiện : n ≥ 6

 + n. + n. = 454 ⬄  + n.  + n.  = 454

⬄  + n + n2( n – 1) = 454

⬄ 2n3 – n2 – 9n – 888 = 0 ⬄ n = 8

Số hạng tổng quát của khai triển ( – x3)8 là : . ()8-k .(-x3)k = . (-1)k. 28-k. x4k-8

Hệ số chứa x4 ⬄ 4k – 8 = 4 ⬄ k = 3 => hệ số chứa x4 là : . (-1)4. 24 = - 1792

Bài 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x + +)n ( x > 0) , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn  -  -  = 44

Trả lời:

 -  -  = 44 ⬄  – n = 44 ⬄ n = 11 ( vì n là số nguyên dương)

Số hạng tổng quát của (x + +)11 là : .( x)11- k. ()k = .x(33 – 11k) : 2

Số hạng không chứa x ⬄ ( 33 – 11k) : 2 = 0 ⬄ k = 3

Vậy số hạng không chứa x là  = 165

Bài 3 : Xét biểu thức ( x + 2y)3 + ( 2x – y)3

a) Viết khai triển biểu thức trên bằng nhị thức Newton.

b) Tính tổng hệ số của số hạng mà lũy thừa của x lớn hơn lũy thừa của y

Trả lời:

a) ( x + 2y)3 + ( 2x – y)3

= . x3 + . x2 .2y +  + .x. (2y)2 +  + . (2y)3 + . (2x)3 + . (2x)2 . (-y)k +  + . (2x).(-y)2 +  + . (-y)3

= x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 + 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3

= 9x3 – 6x2y + 18xy2 + 7y3

b) Số hạng mà lũy thừa của x lớn hơn lũy thừa của y là 9x3 ; 6x2y

     Tổng hệ số của chúng là 9 + (-6) = 3

Bài 4 : Cho đa thức P(x) = (x – 2)2023 + ( 3 – 2x) + ( 3 – 2x)2024 = a2024x2024 + a2023x2023 + ...+ a1x + a0. Tính S = a2024 + a2023 + ...+ a1+ a + a0

Trả lời:

S là tổng hệ số của các số hạng trong khai triển P(x)

=> S = P(1) = ( 1 – 2)2023 + ( 3 – 2.1)2024 = (-1) + 1 = 0

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho n là số tự nhiên thỏa mãn 3.+ 4.  + 4. + 5. + 5. +...+ (n + 3). +...+ (n + 3). = 3840. Tính tổng các hệ số của các số hạng trong khai triển f(x) = ( 1 + x – x2 + x3)n

Trả lời:

3.+ 4.  + 4. + 5. + 5. +...+ (n + 3). +...+ (n + 3). = 3840

⬄ (0 + 3).+ ( 1 + 3).  + ( 1 + 3).  +(2 + 3) . +(2 + 3) . +...+ (n + 3). +...+ (n + 3). = 3840

⬄ (+ 2. + 2. +...+ n. +...+ n.) + 3.(+ 2. + 2. +...+ n. +...+ n.) = 3840

⬄ n. 2n-1 + 3. 2n = 3840

⬄ n = 9

Tổng hệ số của các số hạng là f(1) = ( 1 + 1 – 12 + 13)9 = 29

Bài 2: Cho khai triển ( +  + x)10 = a0 + a1x + ... + a10x10 . Hãy tìm số hạng ak lớn nhất.

Trả lời:

Số hạng tổng quát của khai triển ( +  + x)10 là: . ()10-k. (.x)k = . ()10. 2k. xk

Số hạng ak lớn nhất ⬄ .2k lớn nhất ⬄ k ≥ 5

Ta có :

k = 5 => .25 = 8064

k = 6 => .26 = 13440

k = 7 => .27 = 15360

k = 8 => .28 = 11520

k = 9 => .29 = 5120

k = 10 => .210 = 1024

=> Số hạng ak lớn nhất ⬄ k = 7 => ak = ()10 . 15360

Bài 3: Số hạng mà lũy thừa của x và y bằng nhau là số hạng thứ bao nhiêu trong khai triển ( +  + )2025.

Trả lời:

Số hạng thứ k + 1 là : .()2025-k . ()k = ..

Lũy thừa của x và y bằng nhau ⬄ k =  ⬄ k = 1350

Vậy số hạng thỏa mãn đề bài là số hạng thứ 1351.

Bài 4 : Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển ( -  - )6

Trả lời:

Số hạng tổng quát là :

Tk + 1 = . ()6 - k . (-)k = (-1)k.. 33 – k : 2 .15k : 2 = (-1)k..33. 5k : 2 (0 ≤ k ≤ 6)

Tk + 1 là số hữu tỉ ⬄ ( k : 2 ) là số tự nhiên ⬄ k ⁝ 2 ⬄ k  {0; 2; 4; 6} ( vì 0 ≤ k ≤ 6 )

k = 0 => T1 = (-1)0..33. 50 : 2 = 27

k = 2 => T3 = (-1)2..33. 52 : 2 = 2025

k = 4 => T5 = (-1)4..33. 54 : 2 = 10125

k = 6 => T7 = (-1)6..33. 56 : 2 = 3375