Bài tập file word toán 10 cánh diều chương 7 Bài 5: Phương trình đường tròn

BÀI 5 : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình :

                               ( x – 20)2 + ( y – 23)2 = 100

Trả lời:

Đường tròn có tâm I( 20; 23) và bán kính R = 10

Bài 2: Phương trình sau có là phương trình đường tròn không ?

                                x2 + y2 + 2x – 4y + 15 = 0

Trả lời:

Phương trình đường tròn có dạng tổng quát : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

Phương trình x2 + y2 + 2x – 4y + 15 = 0 có a = -1; b = 2; c = 15

=> a2 + b2 – c = 1 + 4 – 15 = -10 < 0

=> Phương trình trên không là phương trình đường tròn.

Bài 3: Viết phương trình đường tròn có tâm I( 8; 5) và đi qua điểm M( 7 ; -2)

Trả lời:

R = MI =  =

Phương trình đường tròn là : ( x - 8)2 + ( y – 5)2 = 50

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Phương trình sau có là phương trình đường tròn không ? Nếu có, hãy tìm tọa độ tâm và bán kính :              2x2 + 2y2 – 6x – 4y – 1 = 0

Trả lời:

2x2 + 2y2 – 6x – 4y – 1 = 0 ó x2 + y2 – 3x – 2y –  = 0

ó ( x - )2 + ( y – 1)2 =

=> Phương trình này là phương trình đường tròn có tâm I( ; 1); bán kính R =

Bài 2: Cho 2 điểm A(8;0), B(0;6). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔOAB .

Trả lời:

ΔOAB vuông tại O => tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm cạnh huyền AB => I ( 4; 3); bán kính R = AI =  = 5

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔOAB là : ( x – 4)2 + ( y – 3)2 = 25

Bài 3: Viết phương trình đường tròn nhận AB là đường kính với A(2; 4) ; B( -8; -10)

Trả lời:

Tâm I của đường tròn là trung điểm của AB => I (-3; -5)

R2 = AI2 = ( -3 – 2)2 + ( -5 – 4)2 = 106

Phương trình đường tròn là : ( x + 3)2 + ( y + 5)2 = 106

Bài 4 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C):  (x −5)2 + (y + 4)2 = 18. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với d: x + y - 2024 = 0

Trả lời:

Tiếp tuyến ∆ vuông góc d nên ∆ có dạng x − y + c = 0

d( I; Δ) = R ó  = 3 ó | 9 + c| = 6 ó c= -3 hoặc c = -15

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là : x – y – 3 = 0 hoặc x – y – 15 = 0

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 đường thẳng d1: x + 3y + 8 = 0; d2: 3x − 4y + 10 = 0 và điểm A(−2;1) . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc d1, đi qua điểm A và tiếp xúc với d2

Trả lời:

Gọi I là tâm của (C)

I  d1 => I ( -3t – 8; t)

Ta có : d ( I; d2) = AI

ó  =

ó t = -3

=> I( 1; -3) và R = 5

Vậy phương trình (C) : ( x – 1)2 + ( y + 3)2 = 25

Bài 2 : Trong mặt phẳng Oxy cho d: 2x − y − 4 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm thuộc d.

Trả lời:

Gọi I(m; 2m - 4) thuộc d là tâm của đường tròn (C).

Ta có d(I;0x) = d(I;Oy) ⇔ | 2m – 4| = |m| ⇔ m = 4 hoặc m =

m = 4 => I ( 4; 4) ; R = 4 => (C) : ( x – 4)2 + ( y – 4)2 = 16

m =  => I (  ; ) ; R =  => (C) : ( x – )2 + ( y + )2 =

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng Δ: x – y + 1 = 0 và đường tròn (C) : x2 + y2 – 4x + 3y – 4 = 0

a) Chứng minh điểm K( 2; 1) nằm trong đường tròn

b) Xét vị trí tương đối của Δ và (C)

Trả lời:

a) (C) có tâm I( 2; -1) và bán kính R = 3

    KI = 2 < 3 => điểm K nằm trong đường tròn

b) d(I; Δ) =  =  = 2 < R = 3 => Δ và (C) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy , tìm quỹ tích điểm I là tâm của đường tròn (C) , biết (C) tiếp xúc với đường thẳng d : 6x −8y +15 = 0 và có bán kính R = 3.

Trả lời:

Gọi tâm I ( xI ; yI) của đường tròn (C)

(C) có bán kính R = 3 và tiếp xúc với đường thẳng d

=> d( I, d) = R ó  = 3 ó 6.xI – 8.yI – 15 = 0 hoặc 6.xI – 8.yI +45 = 0

Vậy quỹ tích tâm I là 2 đường thẳng song song : 6x – 8y – 15 = 0 ; 6x – 8y + 45 = 0

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x + 4y – 4 = 0 và đường thẳng Δ: x + my + 1 -  = 0. Tìm m để (C) cắt Δ tại 2 điểm phân biệt.

Trả lời:

Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R=3

Để (C) cắt ∆ tại 2 điểm phân biệt

ó d(I;∆) < R

ó  < 3

ó 5m2 + 4m + 17 > 0 ( luôn đúng m)

Vậy m thì (C) cắt Δ tại 2 điểm phân biệt

Bài 2: Tìm m để 2 đường tròn tiếp xúc trong:

          (C1) : x2 + y2 = 1 ; ( C2) : x2 + y2 – 2(m + 1)x + 4my – 5 = 0

Trả lời:

(C1) có tâm O(0; 0); bán kính R = 1

(C2) có tâm I( m + 1; -2m); bán kính R’ =

OI = 

Để 2 đường tròn tiếp xúc trong ó R’ – R = OI

ó  – 1 =

Đặt ( m +1)2 + 4m2  = t ta có phương trình :  – 1=

ó t + 5 = t + 2 + 1 + 1

ó  = 2

ó t = 4

=> ( m +1)2 + 4m2  = 4 ó 5m2 + 2m – 3 = 0

ó ( 5m – 3)(m + 1) = 0

ó m =   hoặc m = -1

Bài 3 : Trong mặt phẳng tọa độ oxy cho đường tròn (C) x2 + y2 − 4x − 2y = 0 và đường thẳng ∆ : mx − y − 3m − 2 = 0 . Biện luận theo m số giao điểm của ∆ và (C).

Trả lời:

Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) ; R =

Ta có : h = d( I ; Δ) =

+) h < R  +) h < R ó  <  ó m > 2 hoặc m <  => ∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

+) h = R  +) h = R ó  =  ó m = 2 hoặc m =  => ∆ tiếp xúc (C).

+) h > R  +) h > R ó  >  ó  < m < 2  => ∆ không cắt (C)

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C1) : ( x – 2)2 + ( y – 3)2 = 2 và (C2) : ( x – 1)2 + ( y – 2)2 = 8. Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn.

Trả lời:

(C1) có tâm I1 ( 2;  3) và R1 =  ; (C2) có tâm I2 ( 1;  2) và R2 = 2

Ta có : I1I2 =  = R2 – R1 => 2 đường tròn tiếp xúc trong => có 1 tiếp tuyến chung

Tọa độ tiếp điểm M của 2 đường tròn là nghiệm của hệ :

( x – 2)2 + ( y – 3)2 = 2 ; ( x – 1)2 + ( y – 2)2 = 8 => M ( 3; 4)

Tiếp tuyến chung Δ là đường thẳng đi qua M và nhận  = ( -1; -1) là vectơ pháp tuyến => Δ : x + y – 7 = 0