Bài tập file word toán 10 cánh diều chương 7 Bài 6: Ba đường conic

BÀI 6 : BA ĐƯỜNG CONIC (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường elip ?

a)  +  +  = 1                 b)  +  +  = 1                 c)  +  +  = 1

Trả lời:

Phương trình chính tắc của đường elip  +  +  = 1 ( a > b > 0)

=> phương trình c thỏa mãn.

Bài 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường hypebol ?

a)  -  -  = 1                   b)  +  +  = 1                 c)  -  -  = 1

d)  +  +  = 1                 e)  -  -  = -1                 f)  +  +  = 0

Trả lời:

Phương trình chính tắc của đường hypebol   -  -  = 1 ( a > 0;  b > 0)

 => phương trình a, c thỏa mãn.

Bài 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường parabol ?

a) y2 = -10x                      b) y2 = 12x             c) x2 = 20y             d) x2 = -23y

Trả lời:

Phương trình chính tắc của đường parabol có dạng y2 = 2px ( p > 0)

=> phương trình b thỏa mãn.

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm M( 2; ) và có một tiêu điểm F( -2; 0)

Trả lời:

Elip có một tiêu điểm F( -2; 0) => c = 2 => a2 = b2 + 4

(E) đi qua điểm M ( 2; ) =>  +  +  = 1 ó  +  +  = 1

ó 9b4 – 25b2 – 100 = 0 ó b2 =  ( loại) hoặc b2 = 5 ( thỏa mãn) => a2 = 9

Vậy phương trình chính tắc của elip là :  +  +  = 1

Bài 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) đi qua 2 điểm M(; 2) và N( -1; )

Trả lời:

(H) đi qua M và N nên ta có hệ phương trình :  - -   = 1;  - -   = 1

ó a2 = ; b2 = 2

Vậy phương trình chính tắc (H) :  -  -  = 1

Bài 3: Cho parabol (P) : y2 = 3x. Tìm tọa độ điểm M nằm trên (P) và cách tiêu điểm một khoảng bằng 3.

Trả lời:

(P) : y2 = 4x = 2px => p = 2

Gọi M(x; y) => MF = x +  = x + 1 = 3 => x = 2

=> y2 = 8 => y = ±2

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn đề bài là M1( 2; 2) ; M2( 2; -2)

Bài 4: Cho parabol (P) có phương trình chính tắc y2 = 4x. Một đường thẳng đi qua tiêu điểm F của (P) cắt (P) tại 2 điểm A và B. Nếu A(1; 2) thì tọa độ của B bằng bao nhiêu ?

Trả lời:

(P) : y2 = 4x có tiêu điểm F( 1;0) mà điểm A( 1; 2) => đường thẳng AF : x = 1

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ y2 = 4x ; x= 1 => y = ±2

Mà A và B là 2 điểm phân biệt => B( 1; -2)

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho elip (E) :  +  +  = 1 và điểm C( 2; 0). Tìm tọa độ điểm A, B thuộc (E) biết rằng A , B đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều.

Trả lời:

c2 = a2 – b2 = 4 – 1 = 3 => c =

Giả sử A( x; y) => B( x; -y)

Tam giác ABC đều => AC2 = AB2 ó ( 2 – x)2 + y2 = 4y2 ó ( 2 – x)2 = 3y2 (1)

Vì A thuộc elip (E) =>  +  +  = 1 ó x2 + 4y2 = 4  (2)

Từ ( 1) và (2) => x = 2; y = 0  hoặc x = ; y =  hoặc x = ; y =

Vì A , B khác C => A(; ) , B (; ) hoặc A(; ) , B (; )

Bài 2: Cho số m > 0. Chứng minh rằng hypebol (H ) có các tiêu điểm F1 (−m;m) , F2 (m;m) và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm trên (H ) tới các tiêu điểm là 2m , có phương trình x.y =

Trả lời:

Xét điểm tùy ý M ( x; y) ∈ (H ) .

Ta có |MF1 – MF2| = 2m

ó|  -  -  | = 2m

ó x2 + y2 = .

ó ( x2 + y2)2 = (x2 + y2 + 2m2)2 – (2mx + 2my)2

ó (x2 + y2 + 2m2)2 - ( x2 + y2)2 = (2mx + 2my)2

ó (x2 + y2 + 2m2 +  x2 + y2).( x2 + y2 + 2m2 -  x2 - y2) = (2mx + 2my)2

ó m2.m2 = 2m2xy

ó m2 = 2xy ( vì m > 0)

ó x.y =  ( đpcm)

Bài 3: Cho hypebol (H) : 4x2 – y2 – 4 = 0. Tìm các điểm trên (H) nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông.

Trả lời:

(H) : 4x2 – y2 – 4 = 0 ó (H) :  - -   = 1 => a2 = 1; b2 = 4 => c =  =

=> (H) có hai tiêu điểm là F1 ( - ; 0) ; F2 (; 0)

Gọi M( x; y) là điểm cần tìm.

 = ( x + ; y) ;  = (x - ; y)

F1M ⊥ F2M ó  .  = 0 ó (x + ).( x -  ) + y2 = 0 ó x2 + y2 – 5 = 0

M  (H) ó 4x2 – y2 = 4 => 5x2 = 9 => x = ± => y = ±

Vậy 4 điểm cần tìm là ( ; ) ; ( ; ) ; ( ; ) ; ( ; )

Bài 4: Lập phương trình chính tắc elip, biết tứ giác ABCD là hình thoi có 4 đỉnh trùng với các đỉnh của elip. Đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình (C) : x2 + y2 = 4 và AC = 2BD , A thuộc Ox.

Trả lời:

Giả sử đỉnh của hình thoi là A(a;0); B( 0; b) => AC = 2a ; BD = 2b .

Theo giả thiết : AC = 2BD ⇔ 2a = 2.2b ⇔ a = 2b

Đường tròn (C) có R = 2 .

Gọi H là hình chiếu của O lên AB với B(0;b) . Khi đó ta có:

 + +   = =  ó + +   =  ó  + +   =   ó b2 = 5 => a2 = 20

Vậy phương trình elip là :  + +   = 1

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho parabol (P) : y2 = x. Hai điểm M , N thuộc (P) , khác gốc O sao cho OM

vuông góc với ON . Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Trả lời:

Gọi M(x1; y1) ; N(x2; y2) thuộc (P) => x1 = 2y12 ; x2 = 2y22

OM vuông góc với ON ó 4(y1y2)2 + y1y2 = 0 => y1y2 =  ( vì M, N khác O)

Phương trình đường thẳng đi qua M, N :

 =

ó (y2 – y1)[x – 2.(y2 – y1)y + 2y1y2] = 0

ó x – 2.(y2 – y1)y + 2y1y2 = 0

ó x – 2.(y2 – y1)y -  = 0

Cho y = 0 => x =  => đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I( ; 0)

Bài 2: Cho hai parabol (P) : y2 = 2px và (P’) : y2 = 2p’x. Qua O vẽ đường thẳng thay đổi cắt (P) và (P’) tại hai điểm phân biệt A và A’. Chứng minh rằng tỉ số  không thay đổi.

Trả lời:

Đường thẳng đi qua O cắt hai parabol (P) và (P′) lần lượt tại hai điểm phân biệt A và A′ có dạng y = kx với k ≠ 0

Giả sử A(x0 ; y0) là nghiệm khác 0 của hệ phương trình : y = kx ; y2 = 2px

=> x0 =  ; y =

=> OA =  = .

Tương tự ta có OA’ = .

=>  =  ( không thay đổi ) ( đpcm)

Bài 3: Cho M là một điểm thuộc parabol (P) : y2 = 64x và N là một điểm thuộc đường thẳng d: 4x + 3y + 46 = 0. Xác định M, N để đoạn thẳng MN ngắn nhất.

Trả lời:

M  (P) => M(m2 ; 8m )

d( M ; d) =  =  ≥  = 2

Dấu “ = ” xảy ra ó 2m + 6 = 0 ó m = -3 => M( 9; -24)

Khi đó N là hình chiếu của M lên đường thẳng d

Đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng d

=> đường thẳng MN có dạng : 3x – 4y + c = 0

Đường thẳng MN đi qua M( 9 ; -24) => c = -123

=> đường thẳng MN : 3x – 4y – 123 = 0

N là giao điểm của đường thẳng MN và d => N( ; )

Bài 4 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho elip (E):  +  +  = 1 và điểm M (1;1). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung điểm AB.

Trả lời:

Thay tọa độ điểm M vào phương trình (E) ta có  +  +  < 1=> điểm M nằm trong (E)

=> mọi đường thẳng qua M đều cắt (E) tại 2 điểm phân biệt.

Gọi A( x; y) ∈ (E) nên  +  +  = 1

Do M (1;1) là trung điểm của AB nên B(2 − x; 2 − y) .

Vì B ∈(E) nên  +  +  = 1

ó  +  +  = 1

ó  +  +  +  +  +  +  = 1

ó  +  +  = 0 ó 9x + 25y – 34 = 0 (*)

Thay tọa độ điểm A, B thấy thỏa mãn (*)

=> phương trình đường thẳng Δ : 9x + 25y – 34 = 0