Giáo án toán 10 cánh diều bài 6: Ba đường conic (3 tiết)

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS thực hiện HĐ1, GV yêu cầu HS:

+ Quan sát HÌnh 49 và tìm hiểu nội dung tương ứng.

+ Quan sát Hình 50 và tìm hiểu nội dung tương ứng để hiểu thêm một số vấn đề thực tiễn liên quan đến elip.

+ Quan sát hình 51 và trả lời câu hỏi, sau đó giải thích phương án trả lời trong bóng nói.

- Sau HĐ1, GV dẫn dắt, nêu kết luận về:

+ Khái niệm đường elip

+ Tiêu điểm của đường elip. 

- HS thực hiện HĐ2, tìm hiểu hệ trục toạ độ gắn với một đường elip có hai tiêu điểm cho trước. GV hướng dẫn HS:

+ Từ A₁F₁ = a – c và A₁F₂  = a + c, chứng minh A₁(-a; 0) thuộc elip (E) rồi nhận xét để suy ra đpcm.

+ Từ B₂F₁ = B₂F₂, chứng minh B₂(0; b) thuộc elip (E) rồi nhận xét để suy ra đpcm.

- GV dẫn dắt, nêu kết luận về phương trình chính tắc của elip.

- GV nêu mối liên hệ giữa ba đại lượng a, b, c và tính chất về toạ độ của những điểm thuộc đường elip.

- HS nhóm đôi tìm hiểu Ví dụ 1, 2, trình bày lại cách làm.

- HS áp dụng làm Luyện tập 1. GV hướng dẫn HS:

+ Viết công thức và điều kiện về phương trình chính tắc.

+ Hai điểm thuộc đường elip có một điểm là giao điểm với trục Oy, từ đó tính được b. Tính a rồi viết phương trình chính tắc của elip (E)

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu.

- GV quan sát, hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, trình bày bài.

- HS lắng nghe, nhận xét.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm về đường elip và phương trình chính tắc của nó.

I. Đường elip

1. Định nghĩa đường elip

HĐ1:

Ta thấy tổng MF₁ + MF₂ luôn bằng độ dài vòng dây kín, do đó khi M thay đổi, tổng MF₁ + MF₂ là một độ dài không đổi.

Kết luận:

Cho hai điểm F₁, F₂ cố định có khoảng cách F₁F₂ = 2c (c > 0).

Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho MF₁ + MF₂ = 2a, trong đó a là số cho trước lớn hơn c.

Hai điểm F₁ và F₂ được gọi là hai tiêu điểm của elip.

2. Phương trình chính tắc của elip

HĐ2:

a. Do A₁F₁ = a – c và A₁F₂  = a + c nên A₁F₁ + A₁F₂ = 2a. Vậy A₁(-a; 0) thuộc elip (E).

Mà A₁ (-a; 0) thuộc trục Ox nên A₁(-a; 0) là giao điểm của elip (E) với trục Ox.

Tương tự, ta chứng minh được A₂(a; 0) là giao điểm của elip (E) với trục Ox.

b. Ta có:

B₂F₂ =

Vì B₂F₁ = B₂F₂ nên B₂F₁ + B₂F₂ = a + a = 2a. Do đó, B₂(0; b) thuộc elip (E). Mà B₂(0; b) thuộc trục Oy nên B₂(0; b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Tương tự, ta chứng minh được: B₁(0; -b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Như vậy, elip (E) đi qua bốn điểm A₁(-a; 0), A₂(a; 0), B₁(0; -b), B₂(0; b), với b =

Kết luận:

Khi chọn hệ trục toạ độ như trên, phương trình đường elip có thể viết dưới dạng:

Trong đó, a > b > 0

Đây gọi là phương trình chính tắc của elip.

Chú ý:

Đối với elip (E) có phương trình chính tắc như đã nêu ở trên, ta có:

+ c² = a² – b², ở đó 2c = F₁F₂

+ Nếu điểm M(x; y) thuộc elip (E) thì – a  x  a.

Ví dụ 1, 2 (SGK – tr95)

Luyện tập 1:

Elip có phương trình chính tắc là:

 (a > b > 0)

Do M(0; 3)  (E) nên:    (1)

Do N(3; -)  (E) nên:

Vậy elip (E) có phương trình chính tắc là: