CHƯƠNG 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

BÀI 5: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

(18 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau để chứng minh đẳng thức

 2-x2+x = x2-4x+44-x2

Giải

Ta có: (2 – x)(4 – x2) = (2 – x)(2 – x)(2 + x) = (2 + x)(2 – x)2 = (2 + x)(x – 2)2

                             = (2 + x)(x2 – 4x + 4) 

(2 – x)(4 – x2) = (2 + x)(x2 – 4x + 4)

Vậy 2-x2+x = x2-4x+44-x2

Bài 2: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau để chứng minh đẳng thức

x3-9x15-5x = -x2-3x5

Giải

Ta có: 5(x3 – 9x) = 5x(x2 – 9) = 5x(x – 3)(x + 3)

            (15 – 5x)(– x2 – 3x) = 5(3 – x)(– x)(x + 3) = 5x(x – 3)(x + 3)  

Do đó 5(x3 – 9x) = (15 – 5x)(– x2 – 3x) suy ra x3-9x15-5x = -x2-3x5

Bài 3: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm A trong đẳng thức sau

A2x+1 = 6x2-3x4x2-1

Giải

Ta có:  6x2-3x4x2-1=3x2x-12x-12x+1=3x2x+1 

A2x+1 = 3x2x+1 A = 3x

Bài 4: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm A trong đẳng thức sau

4x2+3x-7A = 4x+72x-3

Giải

 4x2+3x-7A = 4x+72x-3 4x2+3x-74x+7 = A2x-3

Ta có: 4x2+3x-74x+7 = 4x2-4x+7x-74x+7 = 4xx-1+7x-14x+7 = x-14x+74x+7 = (x – 1)

(x – 1) = A2x-3 A = (x – 1)(2x – 3) = 2x2 – 3x – 2x + 3 = 2x2 – 5x + 3

Bài 5: Rút gọn phân thức x2 + xz - xy - yzx2 + xz + xy + yz

Giải

Ta có: x2 + xz - xy - yzx2 + xz + xy + yz = xx+z-yx+zxx+z+yx+z = x+zx-yx+zx+y = x-yx+y

Bài 6: Rút gọn phân thức x3-2x2-x+2x2-2x 

Giải

Ta có : x3-2x2-x+2x2-2x = x2x-2-x-2xx-2 = x-2x2-1xx-2 = x2-1x

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Bài 1: Tìm GTNN của phân thức x2+4x+63

Giải 

Ta có mẫu thức là 3 > 0 và tử thức là x2 + 4x + 6 = x2 + 4x + 4 + 2 = (x+ 2)2 + 2 > 0 nên phân thức có GTNN khi (x+ 2)2 + 2 có GTNN

Vì (x + 2)2 0x nên (x+ 2)2 + 2 2 có GTNN là 2 khi x + 2 = 0 khi x = – 2 

Vậy GTNN của x2+4x+63 bằng 23 khi x = – 2 

Bài 2: Tín giá trị của biểu thức ax4-a4xa2+ax+x2 với a = 3 và x = 13

Giải 

ax4-a4xa2+ax+x2 = axx3-a3a2+ax+x2 = axx-ax2+ax+a2a2+ax+x2 = ax(x – a) (1)

Thay a = 3 và x = 13 vào (1), ta có 3.13.(13 – 3) = 13 – 3 = 83

Bài 3: Viết phân thức x2+xy+y2x-y dưới dạng một phân thức bằng nó và có tử thức là x3 – y3

Giải 

Gọi phân thức cần tìm là x3-y3B

x2+xy+y2x-y = x3-y3B x2+xy+y2x3 - y3 = x - y B

Ta có: x2+xy+y2x3 - y3 = x2+xy+y2x-yx2+xy+y2 = 1x-y

1x-y = x - y B B = (x – y)(x – y) = (x – y)2 = x2 – 2xy + y2

Phân thức cần tìm là x3-y3x2 – 2xy + y2

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức x-xy-y+y2y3-3y2+3y-1 với x = -34; y = 12

Giải 

Ta có: x-xy-y+y2y3-3y2+3y-1 = x1-y-y1-yy-13 = 1-yx-yy-13 = y-xy-12 (2)

Thay x = -34; y = 12 ta được 12--3412-12 = 12+34-122 = 5414 = 5

Bài 5: Chứng minh phân thức 2x2+xy-y22x2-3xy+y2 = x+yx-y

Giải 

Xét VT = 2x2+xy-y22x2-3xy+y2 = x2+xy+x2-y22x2-2xy-xy+y2 = xx+y+x-yx+y2xx-y-yx-y = x+yx+x-yx-y2x-y 

             = x+y2x-yx-y2x-y = x+yx-y = VP (đpcm)

3. VẬN DỤNG (4 câu)

Bài 1: Cho a > b > 0 và 3a2 + 3b2 = 10ab. Tính giá trị P = b-ab+a 

Giải 

Ta có: 3a2 + 3b2 = 10ab 3a2 – 10ab + 3b2 = 0

                                        3a2 – 9ab – ab + 3b2 = 0

                                        3a(a – 3b) – b(a – 3b) = 0

                                        (a – 3b)(3a – b) = 0

                                        [a-3b=0 3a-b=0

                                        [a=3b 3a=b

 Vì a > b > 0 a = 3b

Thay vào biểu thức P ta có P = b-ab+a = b-3bb+3b = -2b4b = -12

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số n3+2nn4+3n+1 là phân số tối giản

Giải 

Gọi d là ƯCLN của n3 + 2n và n4 + 3n2 + 1

Ta có n3 + 2n d n(n3 + 2n) d n4 + 2n2 d (1)

(n4 + 3n2 + 1) – (n4 + 2n2) d

n2 + 1 d (n2 + 1)2 d n4 + 2n2 + 1 d (2)

Từ (1) và (2) suy ra (n4 + 2n2 + 1) – (n4 + 2n2) d 1 d d = 1

Vậy n3+2nn4+3n+1 là phân số tối giản

Bài 3: Tìm x, biết a2x + 3ax + 9 = a2 (a 0; a – 3)

Giải

     a2x + 3ax + 9 = a2

a2x + 3ax = a2 – 9 

x(a2 + 3a) = a2 – 9 

x = a2-9a2+3a

  x = (a-3)(a+3)a(a+3)

x = a-3a

Bài 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y

9x2-11-3x + 3xy-3x+2y-2y-1, x 13 và y 1 

Giải

9x2-11-3x + 3xy-3x+2y-2y-1 = (3x-1)(3x+1)-(3x-1) + 3xy-1+2(y-1)y-1 = – (3x – 1) + (3x+2)(y-1)y-1 

                                  = – 3x + 1 + 3x + 2 = 1

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Bài 1: Cho ax + by + cz = 0, hãy rút gọn phân thức A = ax2+by2+cz2bcy-z2+acx-z2+abx-y2

Giải

Ta có B = bc(y – z)2 + ac(x – z)2 + ab(x – y)2

              = bc(y2 – 2yz + z2) + ac(x2 – 2xz + z2) + ab(x2 – 2xy + y2) 

              = bcy2 – 2bcyz + bcz2 + acx2 – 2acxz + acz2 + abx2 – 2abxy + aby2

              = bcy2 + bcz2 + acx2 + acz2 + abx2 + aby2 – 2(bcyz + acxz + abxy) (1)

Ta có ax + by + cz = 0 (ax + by + cz)2 = 0

Áp dụng hằng đẳng thức mở rộng a2x2 + b2y2 + c2z2 + 2(bcyz + acxz + abxy) = 0 

                                                       a2x2 + b2y2 + c2z2 = – 2(bcyz + acxz + abxy) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

B = acx2 + abx2 + bcy2 + aby2 + bcz2 + acz2 + a2x2 + b2y2 + c2z2

    = ax2(b + c) + by2(a + c) + cz2(a + b) + a2x2 + b2y2 + c2z2

    = ax2(b + c) + a2x2 + by2(a + c) + b2y2  + cz2(a + b) + c2z2

    = ax2(a + b + c) + by2(a + b + c) + cz2(a + b + c)

    = (a + b + c)(ax2 + by2 + cz2)

Do đó A = ax2+by2+cz2bcy-z2+acx-z2+abx-y2 = ax2+by2+cz2(a + b + c)(ax2 + by2 + cz2) = 1a+b+c

Bài 2: Rút gọn biểu thức A = a3+b3+c3-3abca2+b2+c2-ab-bc-ac

Giải

 Ta có TS = a3 + b3 + c3 – 3abc 

                = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 – 3a2b – 3ab2 – 3abc

                = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 – 3a2b – 3ab2 – 3abc

                = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b + c)

                = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)

                = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc  + c2) – 3ab(a + b + c)

                = (a + b + c)( a2 + 2ab + b2 – ac – bc  + c2 – 3ab)

                = (a + b + c)( a2 + b2   + c2  – ab – bc – ac)

A = a3+b3+c3-3abca2+b2+c2-ab-bc-ac = A = (a + b + c)( a2 + b2   + c2  – ab – bc – ac)a2+b2+c2-ab-bc-ac = a + b + c

Bài 3: Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức 2x3-6x2+x-8x-3 có giá trị nguyên

Giải 

2x3-6x2+x-8x-3 = x3-27+x3-6x2+9x-8x+24-5x-3 

                     = (x3-33)-x(x2-6x+9)-8(x-3)-5x-3

                     = (x-3)(x2+3x+9)-xx-32-8(x-3)-5x-3

                     = (x2 + 3x + 9) – x(x – 3) – 8 – 5x-3

                     = x2 + 3x + 9 – x2 + 3x – 8 – 5x-3

                     = 1 – 5x-3

Để phân thức có giá trị nguyên thì x – 3 là ước của 5; ta có Ư(5) = {– 5;– 1; 1; 5}

Nếu x – 3 = - 5 x = - 2

Nếu x – 3 = - 1 x = 2

Nếu x – 3 = 1 x = 4

Nếu x – 3 = 5 x = 8

Vậy tập nghiệm là x {- 2; 2; 4; 8}