CHƯƠNG 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

BÀI 8: ÔN TẬP CHƯƠNG

(18 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Cho A(x) = 3x5 + 5x – 4x4 – 2x3 + 6 + 4x2 và B(x) = 2x4 – x + 3x2 – 2x3 – x5. Tính A(x) + B(x); A(x) – B(x) 

Giải

A(x) + B(x) = (3x5 + 5x – 4x4 – 2x3 + 6 + 4x2) + (2x4 – x + 3x2 – 2x3 – x5)

                    = 3x5 + 5x – 4x4 – 2x3 + 6 + 4x2 + 2x4 – x + 3x2 – 2x3 – x5

                    = (3x5 – x5) + (– 4x4 + 2x4) + (– 2x3 – 2x3) + (4x2 + 3x2) + (5x – x) + 6

                    = 2x5 – 2x4 – 4x3 + 7x2 + 4x + 6

A(x) + B(x) = (3x5 + 5x – 4x4 – 2x3 + 6 + 4x2) – (2x4 – x + 3x2 – 2x3 – x5)

                    = 3x5 + 5x – 4x4 – 2x3 + 6 + 4x2 – 2x4 + x – 3x2 + 2x3 + x5

                    = (3x5 + x5) + (– 4x4 – 2x4) + (– 2x3 + 2x3) + (4x2 – 3x2) + (5x + x) + 6

                    = 4x5 – 6x4 + x2 + 6x + 6

Bài 2: Chứng minh đẳng thức (a2 – b2)2 + (2ab)2 = (a2 + b2)2

Giải

Xét VT = (a2 – b2)2 + (2ab)2 = a4 – 2a2b2 + b4 + 4a2b2 = a4 + 2a2b2 + b4 = (a2 + b2)2 

Bài 3: Phân tích đa thức ax – bx – a2 + 2ab – b2 thành nhân tử

Giải

Ta có: ax – bx – a2 + 2ab – b2

       = x(a – b) – (a2 – 2ab + b2)

       = x(a – b) – (a – b)2

       = (a – b)[x – (a – b)]

       = (a – b)(x – a + b)

Bài 4: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm A trong đẳng thức sau

x2-2x-3x2-9 = Ax+3

Giải

Ta có: x2-2x-3x2-9 = x2+x-3x-3(x-3)(x+3) = xx+1-3(x+1)x-3(x+3) = x+1x-3(x+3)(x-3) = x+1x+3

x+1x+3 = Ax+3 A = x + 1

Bài 5: Thực hiện phép tính x5x+5 – x5x-5

Giải

x5x+5 – x5x-5 = x5(x+1) – x5(x-1) = x(x-1)5(x+1)(x-1) – x(x+1)5(x+1)(x-1) = xx-1-x(x+1)5(x+1)(x-1) 

                     = x2-x-x2-x5(x+1)(x-1) = -2x5(x2-1)

Bài 6: Thực hiện phép chia phân thức x2+x5x2-10x+5 : 3x+35x-5

Giải

x2+x5x2-10x+5 : 3x+35x-5 = x2+x5x2-10x+5 . 5x-53x+3 = x(x+1)5(x2-2x+1) . 5(x-1)3(x+1) = x(x+1)5x-12 . 5(x-1)3(x+1) = x3x-1

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Bài 1: Cho P(x) = x3 + x2 + x + 2; Q(x) = x3 + 2x2 + 5x – 1 . Tìm đa thức H(x) biết H(x) + P(x) = Q(x)

Giải

Vì H(x) + P(x) = Q(x)

nên H(x) = Q(x) – P(x)

H(x) = (x3 + 2x2 + 5x – 1) – (x3 + x2 + x + 2)

             = x3 + 2x2 + 5x – 1 – x3 – x2 – x – 2

             = (x3 – x3) + (2x2 – x2) + (5x – x) + (–1 – 2)

             = x2 + 4x2 – 3

Bài 2: Cho a + b + c = 2p. 

Chứng minh rằng (p – a)2 + (p – b)2 + (p – c)2 = a2 + b2 + c2 – p2

Giải 

  Xét VT = (p – a)2 + (p – b)2 + (p – c)2

               = p2 – 2pa + a2 + p2 – 2pb + b2 + p2 – 2pc + c2

               = a2 + b2 + c2 + 3p2 – (2pa + 2pb + 2pc)

               = a2 + b2 + c2 + 3p2 – 2p(a + b + c)

               = a2 + b2 + c2 + 3p2 – 2p(a + b + c)

               = a2 + b2 + c2 + 3p2 – 2p.2p

               = a2 + b2 + c2 + 3p2 – 4p2

               = a2 + b2 + c2 – p2 = VP (đpcm)

Bài 3: Phân tích đa thức 3x2 – 6xy + 3y2 – 12z2 thành nhân tử

Giải 

Ta có: 

3x2 – 6xy + 3y2 – 12z2 = 3(x2 – 2xy + y2 – 4z2) = 3[(x – y)2 – 4z2]

                                     = 3(x – y – 2z)(x – y + 2z)

Bài 4: Thực hiện phép tính 2x-1 + 2x-1x2+x+1 – x2+6x+21-x3

Giải

2x-1 + 2x-1x2+x+1 – x2+6x+21-x3 = 2x-1 + 2x-1x2+x+1 + x2+6x+2x3-1 

                                      = 2x-1 + 2x-1x2+x+1 + x2+6x+2x-1(x2+x+1) 

                                      = 2(x2+x+1)(x-1)(x2+x+1) + (2x-1)x-1x-1(x2+x+1) + x2+6x+2x-1(x2+x+1) 

                                      = 2x2+2x+1+2x2-2x-x+1+x2+6x+2(x-1)(x2+x+1)

                                      = 5x2+5x+5(x-1)(x2+x+1) = 5(x2+x+1)(x-1)(x2+x+1) = 5x-1

Bài 5: Tìm biểu thức Q, biết rằng x2+xx-1 . Q = x2-4x2-x

Giải 

x2+xx-1 . Q = x2-4x2-x 

Q = x2-4x2-x : x2+xx-1 = x2-4x2-x . x-1x2+x = (x-2)(x+2)x(x-1) . x-1x(x+1) = x-2x2

3. VẬN DỤNG (4 câu)

Bài 1: Tìm x, y, z thỏa mãn x2 + 12x + y2 – 20y + 161 + 4z2 – 20z 

Giải 

     x2 + 12x + y2 – 20y + 161 + 4z2 – 20z = 0

x2 + 2.x.6 + 62 + y2 – 2.y.10 + 102 + (2z)2 – 2.2z.5 + 52 = 0

(x + 6)2 + (y – 10)2 + (2z – 5)2 = 0

Vì (x + 6)2 0; (y – 10)2 0 và (2z – 5) 0 nên (x + 6)2 + (y – 10)2 + (2z – 5)2 = 0 

khi {x+6=0 y-10=0 2z-5=0  {x= -6 y=10 z=52

Bài 2: Phân tích đa thức a(b2 + c2) – b(c2 + a2) + c(a2 + b2) – 2abc thành nhân tử

Giải 

Ta có: 

   a(b2 + c2) – b(c2 + a2) + c(a2 + b2) – 2abc

= ab2 + ac2 – bc2 – ba2 + ca2 + cb2 – 2abc

= (ab2 – ba2) + (ac2 – bc2) + (ca2 – 2abc + cb2)

= ab(b – a) + c2(a – b) + c(a2 – 2ab + b2)

= – ab(a – b) + c2(a – b) + c(a – b)2

= (a – b)[– ab + c2 + c(a – b)] 

= (a – b)(– ab + c2 + ca – cb)

= (a – b)[(– ab + ac) + (c2 – bc)]

= (a – b)[a(c – b) + c(c – b)]

= (a – b)(c – b)(a + c)

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số 2n-14n2-2 là phân số tối giản

Giải 

Gọi d là ƯCLN của 2n – 1 và 4n2 – 2 

Ta có 2n – 1 d 2n(2n – 1) d 4n2 – 2n d (1)

(4n2 – 2) – (4n2 – 2n) d – 2n + 2 d (2)

Từ (1) và (2) suy ra (2n – 1) + (– 2n + 2 ) d 1 d d = 1

Vậy 2n-14n2-2 là phân số tối giản

Bài 4: Cho n Z. Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên

A = 125n36 + 25n22 + 5n3

Giải

A = 125n36 + 25n22 + 5n3 = 125n36 + 25n2.32.3 + 5n.23.2 = 125n36 + 75n26 + 10n6 = 125n3+75n2+10n6

    = 5n(25n2+15n+2)6 = 5n(25n2+5n+10n+2)6 = 5n[5n5n+1+25n+1]6 = 5n5n+15n+26

Vì 5n; 5n + 1; 5n + 2 là ba số nguyên liên tiếp suy ra có một số chia hết cho 3 và ít nhất một số chia hết cho 2 nên 5n(5n + 1)(5n + 2) 6 A ∈Z

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Bài 1: Phân tích đa thức x4(y – z) + y4(z – x) + z4(x – y)

Giải

   x4(y – z) + y4(z – x) + z4(x – y)

= x4(y – z) + y4[-(y – z) – (x – y)] + z4(x – y)

= x4(y – z) – y4(y – z) – y4(x – y) + z4(x – y)

= (y – z)(x4 – y4) – (x – y)(y4 – z4)

= (y – z)(x2 – y2)(x2 + y2) – (x – y)(y2 – z2)(y2 + z2)

= (y – z)(x – y)(x + y)(x2 + y2) – (x – y)(y – z)(y + z)(y2 + z2)

= (y – z)(x – y)[ (x + y)(x2 + y2) – (y + z)(y2 + z2)]

= (y – z)(x – y)(x3 + xy2 +x2y + y3 – y3 – yz2 – zy2 – z3)

= (y – z)(x – y)[x3 – z3 + y2(x – z) + y(x2 – z2)]

= (y – z)(x – y)[(x – z)(x2 + xz + z2 + y2(x – z) + y(x – z)(x + z)]

= (y – z)(x – y)(x – z)(x2 + xz + z2 + y2 + yx + yz)]

Bài 2: Tính nhanh kết quả biểu thức

A = (202 + 182 + 162 + … + 42 + 22) – (192 + 172 + 152 + … + 32 + 12)

Giải

A = (202 + 182 + 162 + … + 42 + 22) – (192 + 172 + 152 + … + 32 + 12)

    = 202 + 182 + 162 + … + 42 + 22 – 192 – 172 – 152 – … – 32 – 12

    = (202 – 192) + (182 – 172) + (162 – 152) + … + (42 – 32) + (22 – 12)

    = (20 + 19)(20 – 19) + (18 + 17)(18 – 17) + … + (4 + 3)(4 – 3) + (2 + 1)(2 – 1)

    = 20 + 19 + 18 + 17 + 16 + … + 4 + 3 + 2 + 1 = 210

Bài 3: Hà Nội cách TP. Hồ Chí Minh x km. Quãng đường từ Hà Nội đến Huế ngắn hơn quãng đường từ Huế đến TP. Hồ Chí Minh là 411km. Một con tàu xuất phát từ TP. Hồ Chí Minh đi Hà Nội. Sau đó 8 giờ con tàu thứ hai xuất phát từ Hà Nội đi TP. Hồ Chí Minh, chúng gặp nhau tại Huế rồi tiếp tục đi. Con tàu thứ hai phải đi 20 giờ nữa mới đến TP. Hồ Chí Minh. Thời gian đi của con tàu thứ nhất từ Huế ra Hà Nội.

Giải:

 Ta có tổng quãng đường từ Hà Nội đến Huế và quãng đường từ Huế đến TP Hồ Chí Minh là x (km)

Quãng đường từ Hà Nội đến Huế ngắn hơn quãng đường từ Huế đến TP. Hồ Chí Minh là 411 (km)

Ta có quãng đường từ Hà Nội đến Huế là x-4112 (km)

Quãng đường từ Huế đến TP. Hồ Chí Minh là x+4112 (km)

Vận tốc tàu thứ hai là x+4112 : 20 = x+41140 (km/h)

Thời gian tàu thứ hai đi từ Hà Nội đến Huế là 

x-4112 : x+41140 = x-4112 . 40x+411 = 20(x-411)x+411 (h)

Thời gian con tàu thứ nhất đi từ TP. Hồ Chí Minh đến Huế là 

20(x-411)x+411 + 8 = 20x-411+8(x+411)x+411 = 20x-8220+8x+3288x+411 =  28x-4932x+411 = 4(7x-1233)x+411 (h)
Vận tốc tàu thứ nhất là 

x+4112 : 4(7x-1233)x+411 = x+4112 . x+4114(7x-1233) = x+41128(7x-1233) (km/h)

Thời gian tàu thứ nhất đi từ Huế đến Hà Nội là

x-4112 : x+41128(7x-1233) = x-4112 . 8(7x-1233)x+4112 = 4(x-411)(7x-1233)x+4112  (h)