CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÍ PYTHAGORE. 

CÁC LOẠI TỨ GIÁC THƯỜNG GẶP

BÀI 4: HÌNH BÌNH HÀNH – HÌNH THOI

(16 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có A = 120o, các góc còn lại của hình bình hành là?

Giải

Ta có ABCD là hình bình hành nên A = C, B = D

Khi đó ta có: A + B + C + D = 360o

2A + 2D = 360o

2D = 360o – 2A = 360o – 2.120o = 120o

D = 60o 

{A= C=120o B= D=60o

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có A – B = 20o. Xác định số đo góc A và B?

Giải

Theo giả thiết ta có A – B = 20o A = 20o + B

Mặt khác ABCD là hình bình hành nên A + B = 180o

20o + B + B = 180o

  2B = 160o 

  B = 80o 

A = 20o + 80o = 100o

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có A = 2B. Tính số đo các góc của hình bình hành

Giải

ABCD là hình bình hành nên A = C, B = D

Khi đó ta có: A + B + C + D = 360o

2A + 2B = 360o

A + B = 180o

2B + B = 180o

3B = 180o

B = 60o

A = 2B = 2. 60o = 120o

Vậy A = C = 120o, B = D = 60o

Bài 4: Hai đường chéo của hình thoi có độ dài lần lượt là 8cm và 10cm. Tính độ dài cạnh của hình thoi

Giải

Độ dài cạnh của hình thoi là:

 d122+d222 = 822+1022 = 42+52 = 41 (cm)

Bài 5: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm hai đường chéo, biết AC = 16cm và OB = 6cm. Tính CD?

Giải

Do ABCD là hình thoi nên: AO = OC = 12 AC = 8cm

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABO ta có:

AB2 = AO2 + OB2 = 82 + 62 = 100 nên AB = 10cm

Vì ABCD là hình thoi nên AB = CD = 10cm

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh AF // CE

Giải

Ta có ABCD là hình bình hành nên AB = CD

Mà E, F là trung điểm của AB và CD 

AB = CF = BE = DF

Xét tứ giác AECF có 

AE = CF

AE // CF (do AB // CD)

AECF là hình bình hành AF // EC

Bài 2: Cho tam giác ABC, trực tâm H. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C cắt nhau tại D. Chứng minh BDCH là hình bình hành

Giải 

Ta có CH AB

BD AB

CH // BD (1)

Có BH AC

      CD AC

BH // CD (2)

Từ (1) và (2) BHCD là hình bình hành

Bài 3: Cho hình thoi ABCD có CD = 4cm và ABD  = 30o. Tính AC

Giải 

Do ABCD là hình thoi nên BD là đường phân giác của góc ABC   

ABC  = 2ABD = 60o

Xét tam giác ABC có AB = BC ( vì ABCD là hình thoi) và ABC = 60o

tam giác ABC là tam giác đều.

Vì ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA = 4cm

AC = AB = BC = 4cm.

Bài 4: Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo là 24cm và 10cm. Tính độ dài cạnh hình thoi.

Giải 

Giả sử ABCD là hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại H và AC = 10cm, BD = 24cm

Do ABCD là hình thoi nên AC BD

AH = 12AC = 12.10 = 5 (cm)

HB = 12BD = 12.24 = 12 (cm)

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

AB2 = AH2 + HB2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169

AB = 13cm

Bài 5: Tỉ số độ dài hai cạnh của hình bình hành là 3 : 5. Còn chu vi của nó bằng 48cm. Độ dài cạnh kề của hình bình hành

Giải 

Gọi độ dài hai cạnh của hình bình hành là a và b với a, b > 0

Theo bài ra ta có: a3 = b5

Nửa chu của hình bình hành là: 48 : 2 = 24cm

Suy ra: a + b = 24cm. Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a3 = b5 = a+b3+5 = 248 = 3

⇒ a = 3.3 = 9; b = 3.5 = 15

Vậy hai cạnh của hình bình hành là 9cm và 15cm

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Lấy N AB, M CD sao cho AN = CM. Chứng minh rằng AC, BD, MN đồng quy

Giải 

Xét tứ giác ANCM có 

AN = CM

AN // CM (do AB // CD)

ANCM là hình bình hành

Gọi AC BD = {O} (1)

O là trung điểm của AC và BD

Ta có ANCM là hình bình hành; O là trung điểm của đường chéo AC

O là trung điểm của MN

O MN (2)

Từ (1) và (2) AC, BD, MN đồng quy

Bài 2: Cho tam giác ABC, trực tâm H. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C cắt nhau tại D. Chứng minh H, M, D thẳng hàng (M là trung điểm BC)

Giải 

Ta có CH AB

BD AB

CH // BD (1)

Có BH AC

      CD AC

BH // CD (2)

Từ (1) và (2) BHCD là hình bình hành

BC và HD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà M là trung điểm BC

M là trung điểm HD

H, M, D thẳng hàng

Bài 3: Cho hình thoi ABCD có B = 60o. Kẻ AE ⊥ DC; AF ⊥ BC. Chứng minh tam giác AEF đều

Giải 

1. a) Vì ABCD là hình thoi nên ADE = ABF; AD = AB

Lại có: AE CD   AED = 90o

AF BC   AFB = 90o

 Xét tam giác ADE và tam giác ABF có:

ADE = ABF

AD = AB

AED = AFB = 90o

=> ΔADE = ΔABF (cạnh huyền – góc nhọn)

=> AE = AF (hai cạnh tương ứng)

1. b) Xét ΔABF vuông tại F ta có: BFA + ABF + FAB = 180o

                                                 90o + 60o + FAB = 180o

                                                 FAB = 30o

Xét ΔADE vuông tại E ta có: DEA + ADE + EAD = 180o

                                                 90o + 60o + EAD = 180o

                                                 EAD = 30o

Ta có: ABCD là hình thoi nên AD // BC => DAB + B = 180o (hai góc trong cùng phía)

Nên DAB = 180o – B = 180o – 60o = 120o 

Lại có: DAB = DAE + EAF + FAB = 120o 

         30o +  EAF + 30o = 120o

       EAF = 60o

Xét ΔAEF có:

AE = AF

EAF = 60o 

Do đó: ΔAEF là tam giác đều.

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, BC. Đường chéo AC cắt BE, DF theo thứ tự ở K, I. Chứng minh AK = KI = IC

Giải

Gọi O là giao điểm của AC, BD

Vì ABCD là hình bình hành nên AC, BD giao nhau tại trung điểm O mỗi đường, hay AO = CO = AC2

Xét tam giác ABD có BE, AO là đường trung tuyến cắt nhau tại K nên K là trọng tâm ΔABD.

Suy ra AK = 23 AO = 23.12AC = 13 AC (1)

Xét tam giác CBD có DF, CO là hai đường trung tuyến cắt nhau tại I nên I là trọng tâm ΔCBD.

Suy ra CI = 23 CO = 23.12AC = 13 AC (2)

Lại có:

AK + KI + CI = AC

KI = AC – AK – CI 

          = AC – 13 AC – 13 AC

          = 13 AC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AK = KI = IC

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F là trung điểm của các cạnh AD và BC. Các đường BE, DE cắt các đường chéo AC tại P và Q. Góc ACD bằng bao nhiêu thì tứ giác EPFQ là hình thoi.

Giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD.

Xét tứ giác EDFB có

ED // FB

ED = FB (= 12 AD)

EDFB là hình bình hành 

BE = DF; BE // DF 

Xét tam giác ABD có P là giao điểm hai đường trung tuyến nên P là trọng tâm ΔABD ⇒ EP = 13BE

Xét tam giác CBD có Q là giao điểm hai đường trung tuyến nên Q là trọng tâm ΔCBD ⇒ QF = 13DF

Mà BE = DF (cmt) ⇒ EP = QF

Xét tứ giác EPFQ có

EP = QF

EP // QF 

⇒ EPQF là hình bình hành

Để hình bình hành EPFQ là hình thoi thì EF ⊥ PQ.

Mà EF // CD (do E là trung điểm AD, F là trung điểm BC)

Nên PQ ⊥ CD hay AC ⊥ CD ⇒ ACD  = 900.

Bài 3: Cho tam giác ABC có BC = 6cm. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = BE. Qua D, E lần lượt vẽ các đường thẳng song song với BC, cắt AC theo thứ tự ở G và H. Tính tổng DG + EH. 

Giải

Kẻ HM // AM (M BC).

Xét tứ giác EHMB có 

MH // EB

EH // BM 

EHMB là hình bình hành.

Suy ra EH = BM; EB = HM (tính chất hình bình hành) 

mà AD = BE 

⇒ AD = MH

Có DG // BC ADG = ABC (hai góc ở vị trí đồng vị)(1)

     HM // AB HMC = ABC và CHM = CAB (hai góc ở vị trí đồng vị)(2)

Từ (1) và (2) suy ra HMC = ADG

Xét ∆ADG và ∆HMC có

HMC = ADG (cmt)

AD = HM (cmt)

MHC = DAG (cmt)

∆ADG = ∆HMC (g – c – g)

DG = MC

Ta có: DG + EH = MC + BM = BC = 6cm