CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÍ PYTHAGORE. 

CÁC LOẠI TỨ GIÁC THƯỜNG GẶP

BÀI 2: TỨ GIÁC

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Bài 1: Cho tứ giác ABCB có A = 60o; B = 135o; D = 29o. Tính số đo góc C

Giải

Xét tứ giác ABCD có: 

         A + B + C + D = 360o (định lí)

Hay 60o + 135o + C + 29o = 360o

C = 360o – 60o – 135o – 29o = 136o

Bài 2: Cho tứ giác ABCD, trong đó A + B = 140o. Tính tổng góc C + D

Giải

Xét tứ giác ABCD có: 

         A + B + C + D = 360o (định lí)

C + D = 360o – (A + B) = 360o – 140o = 220o

Bài 3: Tìm x

Giải

Xét tứ giác ABCD có: 

         A + B + C + D = 360o (định lí)

Hay 60o + 110o + 150o + D = 360o

C = 360o – 60o – 110o – 150o = 40o

Bài 4: Tìm x

Giải

Xét tứ giác EFGH có: 

         E + F + G + H = 360o (định lí)

Hay 90o + 65o + x + x = 360o

2x = 360o – 90o – 65o 

2x = 205o

x = 205o2 = 102,5o

Bài 5: Tính số đo góc C và D của tứ giác ABCD biết A = 120o; B = 90o; C = 2D

Giải

Xét tứ giác ABCD có: 

         A + B + C + D = 360o (định lí)

Hay 120o + 90o + 2D +  D = 360o

3D = 360o – 120o – 90o 

3D = 150o

D = 50o C = 2.50o = 100o

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Bài 1: Cho tứ giác ABCB có A = 50o; C = 150o; D = 45o. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh B

Giải 

Xét tứ giác ABCD có: 

         A + B + C + D = 360o (định lí)

Hay 50o + B + 150o + 45o = 360o

B = 360o – 50o – 150o – 45o = 115o

Góc ngoài tại đỉnh B có số đo là: 180o – B = 180o – 115o  = 65o 

Bài 2: Cho tứ giác ABCB có A = 65o; B = 117o; C = 71o. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh D

Giải 

Xét tứ giác ABCD có: 

         A + B + C + D = 360o (định lí)

Hay 65o + 117o + 71o + D = 360o

D = 360o – 65o – 117o – 71o = 107o

Góc ngoài tại đỉnh B có số đo là: 180o – D = 180o – 107o  = 73o 

Bài 3: Tứ giác ABCD có C = 70o, D = 80o, A – B = 20o. Tính số đo các góc A và B.

Giải 

Xét tứ giác ABCD có: 

         A + B + C + D = 360o (định lí)

Hay A + B + 70o + 80o  = 360o

A + B = 360o – 80o – 70o = 210o

A = (210o + 20o) : 2 =  115o

B = 210o – 115o = 95o

Bài 4: Cho tứ giác MNPQ có M = 70o; N = 112o; P = 68o. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh Q

Giải 

Xét tứ giác MNPQ có: 

         M + N + P + Q = 360o (định lí)

Hay 70o + 112o + 68o + Q = 360o

Q = 360o – 70o – 112o – 68o = 110o

Góc ngoài tại đỉnh B có số đo là: 180o – Q = 180o – 110o  = 70o 

Bài 5: Số đo các góc của tứ giác ABCD theo tỷ lệ A:B:C:D = 4:3:2:1. Số đo các góc theo thứ tự đó là?

Giải 

Theo giả thiết ta có A:B:C:D = 4:3:2:1

A = 4D; B = 3D; C = 2D

Khi đó ta có A + B + C + D = 360o (định lí)

4D + 3D + 2D + D = 360o

10D = 360o

D = 36o

{A = 4D=4.36o=144o B = 3D=3.36o=108o C = 2D=2.36o=72o    

3. VẬN DỤNG (4 câu)

Bài 1: Cho tứ giác ABCD có tổng số đo góc ngoài tại hai đỉnh B và C là 2000. Tổng số đo các góc ngoài tại 2 đỉnh A, C

Giải 

Gọi góc ngoài tại 4 đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD lần lượt là A1; B1; C1; D1

Khi đó ta có 

A + A1 = 180o A1 = 180o – A;

B + B1 = 180o B1 = 180o – B;

C + C1 = 180o C1 = 180o – C;

D + D1 = 180o D1 = 180o – D;

Suy ra 

A1 + B1 + C1 + D1 = 180o – A + 180o – B + 180o – C + 180o – D

                        = 720o – (A + B + C + D)

                        = 720o – 360o = 360o

Vậy tổng số đo các góc ngoài tại 4 đỉnh A, B, C, D là 360o.

Mà tổng số đo góc ngoài tại hai đỉnh B, C bằng 200o nên tổng số đo góc ngoài tại hai đỉnh A, D bằng 360o – 200o = 160o.

Bài 2: Cho tứ giác ABCD có  = 1000. Tổng số đo các góc ngoài đỉnh B, C, D 

Giải 

Gọi góc ngoài tại 4 đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD lần lượt là A1; B1; C1; D1

A + A1 = 180o A1 = 180o – A = 180o – 100o = 80o

A1 + B1 + C1 + D1 = 180o – A + 180o – B + 180o – C + 180o – D

                        = 720o – (A + B + C + D)

                        = 720o – 360o = 360o

A1 + B1 + C1 + D1  = 360o B1 + C1 + D1 = 360o – A1 

                                                 B1 + C1 + D1 = 360o – 80o = 280o

Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Tổng số đo các góc ngoài tại 4 đỉnh A, B, C, D

Giải 

Gọi góc ngoài tại 4 đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD lần lượt là A1; B1; C1; D1

Khi đó ta có 

A + A1 = 180o A1 = 180o – A;

B + B1 = 180o B1 = 180o – B;

C + C1 = 180o C1 = 180o – C;

D + D1 = 180o D1 = 180o – D;

Suy ra 

A1 + B1 + C1 + D1 = 180o – A + 180o – B + 180o – C + 180o – D

                        = 720o – (A + B + C + D)

                        = 720o – 360o = 360o

Vậy tổng số đo các góc ngoài tại 4 đỉnh A, B, C, D là 360o.

Bài 4: Tứ giác ABCD có C + D = 90o. Chứng minh AC2 + BD2 = AB2 + CD2

Giải

Gọi K là giao điểm AD, BC.

Vì C + D = 90o nên K = 90o

Xét ΔKAC vuông tại K ta có: AC2 = KC2 + KA2.

Xét ΔKBD vuông tại K ta có: BD2 = KB2 + KD2.

Xét ΔKBA vuông tại K ta có: BA2 = KA2 + KB2.

Xét ΔKBD vuông tại K ta có: CD2 = KC2 + KD2.

Từ đó BD2 + AC2 = KC2 + KA2 + KB2 + KD2

= (KB2 +KA2) + (KD2 + KC2) = AB2 + DC2.

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Bài 1: Tam giác ABC có A = 60o, các tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Các tia phân giác góc ngoài tại đỉnh B và C cắt nhau tại K. Tính các góc BIC; BKC

Giải

Xét tam giác ABC có A + ABC + BCA = 180o ABC + BCA = 120o

Vì BI là phân giác ABC CBI = 12  ABC

Vì CI là phân giác BCA   BCI = 12 BCA

Từ đó CBI + BCI = 12 (ABC + BCA) = 12.120o = 60o

Xét tam giác BCI có  BIC + CBI + BCI = 180o

BIC = 180o – (CBI + BCI) = 180o – 60o = 120o

Vì BI là phân giác ABC CBI = 12  ABC

Vì BK là phân giác CBx   CBK = 12 CBx

Từ đó CBK + CBI = 12 (CBx+ ABC = 12.180o = 90o

Hay IBK = 90o 

Tương tự ta có ICK = 90o

Xét tứ giác BICK có BIC + IBC + ICK + BKC = 360o

BKC = 360o – BIC – IBC – ICK

BKC = 360o – 90o – 90o – 120o = 60o

Bài 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

1. a) Chứng minh OA + OB + OC + OD < AB + BC + CD + DA
2. b) Chứng minh AB+BC+CD+DA2 < OA + OB + OC + OD

Giải

1. a)  Xét tam giác OAB ta có OA + OB > AB (vì trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại).

Tương tự ta có OC + OD > CD; OB + OC > BC; OA + OD > AD

Cộng vế với vế ta được

       OA + OB + OC + OD + OB + OC + OA + OD > AB + BC + CD + AD

⇔ 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + DA

⇔ OA + OB + OC + OD > AB+BC+CD+DA2

1. b) Xét tam giác ABC có AB + BC > AC (vì trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại).

Tương tự ta có BC + CD > BD; CD + DA > AC; AD + DB > BD

Cộng vế với vế ta được

       AB + BC + BC + CD + CD + DA + DA + AB > AC + BD + AC + BD

⇔ 2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)

⇔ AB + BC + CD + DA > AC + BD 

mà AC + BD = OA + OC + OB + OD 

OA + OB + OC + OD < AB + BC + CD + DA

Bài 3: Tứ giác ABCD có A – C = 60o Các tia phân giác của các góc B và D cắt nhau tại I. Tính số đô góc BID.

Giải

Xét tam giác BIC có: IBC = I1 – BCI

Xét tam giác DIC có: IDC = I2 – ICD

IBC + IDC = (I1 + I2) – (BCI + ICD) = BID – C

Tứ giác ABID có ABI + ADI = 360o – A – BID

Do ABI = IBC; ADI = IDC (tính chất tia phân giác)

Nên IBC + IDC = ABI + ADI

BID – C = 360o – A – BID

2BID = 360o – (A – C) 

               = 360o – 60o 

               = 300o 

BID = 300o