CHƯƠNG 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

BÀI 4: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

(18 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Phân tích đa thức x(x – y)3 – y(y – x)2 – y2(x – y) thành nhân tử

Giải

Ta có: x(x – y)3 – y(y – x)2 – y2(x – y)

       = x(x – y)(x – y)2 – y(x – y)(x – y) – y2(x – y)

       = (x – y)[x(x – y)2 – y(x – y) – y2]

       = (x – y)[x(x – y)2 – xy + y2 – y2]

       = (x – y)[x(x – y)2 – xy]

Bài 2: Phân tích đa thức (a + b + c)2 + (a + b – c + 2c)(a + b – c – 2c) thành nhân tử

Giải

Ta có: (a + b + c)2 + (a + b – c + 2c)(a + b – c – 2c)

        = (a + b + c)2 + (a + b + c)(a + b – 3c)

        = (a + b + c)(a + b + c + a + b – 3c)

        = (a + b + c)(2a + 2b – 2c)

        = 2(a + b + c)(a + b – c)

Bài 3: Phân tích đa thức a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1 thành nhân tử

Giải

Ta có : a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1

        = a3(a2 + a + 1) + (a2 + a + 1)

      = (a3 + 1)(a2 + a + 1)

      = (a + 1)(a2 – a + 1)(a2 + a + 1)

Bài 4: Tính giá trị biểu thức A = xy(x + y) – 2x – 2y tại xy = 8 và x + y = 7

Giải

A = xy(x + y) – 2x – 2y = xy(x + y) – 2(x + y) = (x + y)(xy – 2)

Thay xy = 8 và x + y = 7 vào A, ta có A = 7.(8 – 2) = 7.6 = 42

Bài 5: Phân tích đa thức (xy + 1)2 – (x + y)2 thành nhân tử

Giải

Ta có: (xy + 1)2 – (x + y)2

       = (xy + 1 – x – y)(xy + 1 + x + y)

       = [x(y – 1) + (y – 1)][x(y + 1) + (y + 1)]

       = (y – 1)(x + 1)(y + 1)(x + 1)

Bài 6: Tính giá trị biểu thức B = x5(x + 2y) – x3y(x + 2y) + x2y2(x + 2y) tại x = 10 và y = – 5 

Giải

Ta có : B = x5(x + 2y) – x3y(x + 2y) + x2y2(x + 2y)

                = (x + 2y)(x5 – x3y + x2y2)

                = (x + 2y)x2(x3 – xy + y2)

                = x2(x + 2y)(x3 – xy + y2)

Thay x = 10 và y = – 5 vào B, ta có x + 2y = 10 + 2.(– 5) = 0 nên B = 0

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Bài 1: Phân tích đa thức x4 – 2x3 + 2x – 1 thành nhân tử

Giải 

Ta có : x4 – 2x3 + 2x – 1

        = (x4 – 1) – (2x3 – 2x) 

        = (x2 – 1)(x2 + 1) – 2x(x2 – 1)

        = (x2 – 1)(x2 + 1 – 2x)

        = (x – 1)(x + 1)(x – 1)2

        = (x + 1)(x – 1)3

Bài 2: Phân tích đa thức A = xyz – (xy + yz + zx) + x + y + z – 1 thành nhân tử. Tính giá trị biểu thức với x = 9; y = 10; z = 11

Giải 

 A = xyz – (xy + yz + zx) + x + y + z – 1

    = xyz – xy – yz – zx + x + y + z – 1 

    = (xyz – xy) – (yz – y) – ( zx – x) + (z – 1)

    = xy(z – 1) – y(z – 1) – x(z – 1) + (z – 1)

    = (z – 1)(xy – y – x + 1)

    = (z – 1)[(xy – y) – (x – 1)]

    = (z – 1)[y(x – 1) – (x – 1)]

    = (z – 1)(x – 1)(y – 1)

    = (x – 1)(y – 1)(z – 1)

Thay x = 9; y = 10; z = 11 vào A, ta có A = (9 – 1)(10 – 1)(11 – 1) = 8.9.10 = 720

Bài 3: Phân tích đa thức x7 – x2 – 2x – 1 thành nhân tử

Giải 

Ta có: 

    x7 – x2 – 2x – 1 

=  x7 – x2 – x – x – 1  

= (x7 – x) – (x2 + x + 1)

= x(x6 – 1) – (x2 + x + 1)

= x(x3 – 1)(x3 + 1) – (x2 + x + 1)

= x(x3 + 1)(x – 1)(x2 + x + 1) – (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)[x(x3 + 1)(x – 1) – 1]

= (x2 + x + 1)[ (x4 + x)(x – 1) – 1]

= (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x – 1)

Bài 4: Phân tích đa thức (x + 2)2 + 2(x2 – 4) + (x – 2)2 thành nhân tử

Giải 

Ta có:

   (x + 2)2 + 2(x2 – 4) + (x – 2)2

= (x + 2)2 + (x2 – 4) + (x2 – 4) + (x – 2)2

= (x + 2)2 + (x + 2)(x – 2) + (x + 2)(x – 2) + (x – 2)2

= (x + 2)(x + 2 + x – 2) + ( x – 2)(x + 2 + x – 2)

= 2x(x + 2) + 2x(x – 2)

= 2x(x + 2 + x – 2)

= 2x.2x = 4x2

Bài 5: Phân tích đa thức x2 + 2x – y2 + 2y thành nhân tử

Giải 

Ta có: 

   x2 + 2x – y2 + 2y

= x2 + 2x + 1 – y2 + 2y – 1 

= (x2 + 2x + 1) – (y2 – 2y + 1)

= (x + 1)2 – (y – 1)2

= [(x + 1) + (y – 1)][(x + 1) – (y – 1)]

= (x + 1 + y – 1)(x + 1 – y + 1)

= (x + y)(x – y + 2)

3. VẬN DỤNG (4 câu)

Bài 1: Tìm x biết x4 + 2x3 – 4x = 4

Giải 

Ta có:

     x4 + 2x3 – 4x = 4

x4 + 2x3 – 4x – 4 = 0

(x2)2 + 2.x2.x + x2 – x2 – 4x – 4 = 0

[(x2)2 + 2.x2.x + x2] – (x2 + 4x + 4) = 0

(x2 + x)2 – (x + 2)2 = 0

[(x2 + x) + (x + 2)][ (x2 + x) – (x + 2)] = 0

(x2 + x + x + 2)(x2 + x – x – 2) = 0

(x2 + 2x + 2)(x2 – 2) = 0

Vì x2 + 2x + 2 = x2 + 2.x.1 + 1 + 1 = (x + 1)2 + 1 1x nên (x2 + 2x + 2)(x2 – 2) = 0 khi x2 – 2 = 0

x2 = 2 [x=2 x= -2

Bài 2: Cho a, b, c, d là các số khác 0 và 

(a + b + c + d)(a – b – c + d) = (a – b + c – d)(a + b – c – d). Chứng minh rằng ac = bd

Giải 

Ta có: 

   (a + b + c + d)(a – b – c + d) = (a – b + c – d)(a + b – c – d)

[(a + d) + (b + c)][(a + d) – (b + c)] = [(a – d) – (b – c)][(a – d) + (b – c)]

(a + d)2 – (b + c)2 = (a – d)2 – (b – c)2

(a2 + 2ad + d2) – (b2 + 2bc + c2) = (a2 – 2ad + d2) – (b2 – 2bc + c2)

a2 + 2ad + d2 – b2 – 2bc – c2 = a2 – 2ad + d2 – b2 + 2bc + c2

a2 + 2ad + d2 – b2 – 2bc – c2 – a2 + 2ad – d2 + b2 – 2bc + c2 = 0

4ad – 4bc = 0

ad = bc

ac = bd (đpcm)

Bài 3: Cho a2 + b2 + c2 = 0. Chứng minh rằng A = B = C với

A = a2 (a2 + b2)(a2 + c2)

B = b2 (b2 + c2)(b2 + a2)

C = c2 (c2 + a2)(c2 + b2)

Giải

Ta có:

A = a2 (a2 + b2)(a2 + c2) 

    = (a4 + a2b2)(a2 + c2) 

    = a6 + a4c2 + a4b2 + a2b2c2 

    = a4(a2 + b2 + c2) + a2b2c2

    = a2b2c2 (1)

B = b2 (b2 + c2)(b2 + a2) 

    = (b4 + b2c2)(b2 + a2) 

    = b6 + b4a2 + b4c2 + b2c2a2 

    = b4(a2 + b2 + c2) + a2b2c2

    = a2b2c2 (2)

C = c2 (c2 + a2)(c2 + b2) 

    = (c4 + c2a2)(c2 + b2) 

    = c6 + c4b2 + c4a2 + c2a2b2 

    = c4(a2 + b2 + c2) + a2b2c2

    = a2b2c2 (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra A = B = C

Bài 4: Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. Chứng minh rằng a = b = c

Giải 

    a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca

a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 0

2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca = 0

a2 – 2ab + b2 + b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 = 0

(a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ca + a2) = 0

(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0

Vì (a – b)2 0; (b – c)2 0; (c – a)2 0, a, b, c nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 khi {a-b=0 b-c=0 c-a=0 {a=b b=c c=a a=b=c(đpcm)

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Bài 1: Chứng minh rằng (x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x)

Giải

Xét VT = (x + y + z)3

             = [(x + y) + z]3

                  = (x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3

              = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 + 3(x2 + 2xy + y2)z + 3(xz2 + yz2) + z3

              = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 + 3x2z + 6xyz + 3y2z + 3xz2 + 3yz2 + z3

              = x3 + y3 + z3 + 3x2y + 3xy2 + 3x2z + 3y2z + 6xyz + 3xz2 + 3yz2

              = x3 + y3 + z3 + 3x2y + 3xy2 + 3x2z + 3y2z + 3xyz + 3xyz + 3xz2 + 3yz2

            = x3 + y3 + z3 + (3x2y + 3xyz) + (3xy2 + 3xyz) + (3x2z + 3y2z) + (3xz2 + 3yz2)

            = x3 + y3 + z3 + 3xy(x + z) + 3xy(y + z) + 3xz(x + z) + 3yz(y + z)

            = x3 + y3 + z3 + 3xy(x + z) + 3xz(x + z) + 3xy(y + z) + 3yz(y + z)

            = x3 + y3 + z3 + (x + z)(3xy + 3xz) + (y + z)(3xy + 3yz)

            = x3 + y3 + z3 + (x + z)(3xy + 3xz) + (y + z)(3xy + 3yz)

            = x3 + y3 + z3 + 3x(x + z)(y + z) + 3y(x + z)(y + z)

            = x3 + y3 + z3 + (x + z)(y + z)(3x + 3y)

            = x3 + y3 + z3 + 3(x + z)(y + z)(x + y)

            = x3 + y3 + z3 + 3(x + y)(y + z) (x + z) (đpcm)

Bài 2: Phân tích đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15

Giải

Gợi ý: Với dạng này, ta chỉ việc lấy số nhỏ nhất nhân với số lớn nhất để tạo ra những số hạng giống nhau

Ta có: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15

        = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15

        = (x2 + 7x + x + 7)(x2 + 5x + 3x + 15) + 15

        = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15

Đặt x2 + 8x = t 

Đa thức trở thành:

  t2 + 15t + 7t + 105 + 15

= t2 + 22t + 120

= t2 + 10t + 12t + 120

= t(t + 10) + 12(t + 10)

= (t + 10)(t + 12)

Thay t = x2 + 8x ta được (t + 10)(t + 12) = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12)

                                                                 = (x2 + 8x + 10)(x2 + 6x + 2x + 12)

                                                                 = (x2 + 8x + 10)[x(x + 6) + 2(x + 6)]

                                                                 = (x2 + 8x + 10)(x + 6)(x + 2)

Bài 3: Phân tích đa thức x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 thành nhân tử

Giải

Gợi ý: Nhận thấy đa thức không có hai nghiệm là 1 và – 1. Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau.

Ta có: x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1

       = x2(x2 + 6x + 7 + 6x + 1x2)

       = x2[x2 + 1x2 + 6(x + 1x) + 7]

Đặt x + 1x = t (x + 1x)2 = t2 x2 + 2.x.1x + 1x2 = t2 x2 + 1x2 = t2 – 2 

Đa thức trở thành:

x2(t2 – 2 + 6t + 7) = x2(t2 + 6t + 5) = x2(t2 + t + 5t + 5) = x2[t(t + 1) + 5(t + 1)] 

                             = x2(t + 1)(t + 5)

Thay t = x + 1x ta được 

x2(t + 1)(t + 5) = x2(x + 1x + 1)(x + 1x + 5) = x2x2 + 1 + xxx2 + 1 + 5xx 

                                     = (x2 + x + 1)(x2 + 5x + 1)