CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÍ PYTHAGORE. 

CÁC LOẠI TỨ GIÁC THƯỜNG GẶP

BÀI 3: HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Bài 1: Cho hình thang  ABCB có A = 1200o; B = 60o; D = 135o. Tính số đo góc C

Giải

Tổng bốn góc của hình thang bằng 360o

Khi đó ta có: A + B + C + D = 360o

C = 360o – (A + B + D)

C = 360o – (120o + 60o + 135o) = 45o

Bài 2: Cho tứ giác ABCD, trong đó C + D = 150o. Tính tổng góc A + B

Giải

Tổng bốn góc của hình thang bằng 360o

Khi đó ta có: A + B + C + D = 360o

A + B = 360o – (C + D) = 360o – 150o = 210o

Bài 3: Tìm x trong hình thang ABCD(AD // BC)

Giải

Vì ABCD là hình thang có B = C = 80o

ABCD là hình thang cân (hai góc kề một đáy bằng nhau)

D = A = 100o

x = 100o

Bài 4: Tìm x trong hình thang ABCD(AB // CD)

Giải

Hình thang ABCD(AB // CD) B + C = 180o

C = 180o – B = 180o – 45o = 135o

x = 135o

Bài 5: Tìm x trong hình bên dưới

Giải

Xét tứ giác ABCD có:  A = B = 90o

AD // BC ABCD là hình thang

C + D = 180o

  x + 3x = 180o

4x = 180o

x = 45o

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Bài 1: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D. Biết AD = 3 cm và CD = 4cm. Tính AC?

Giải 

Do tứ giác ABCD là hình thang vuông nên D = 90o

Suy ra, tam giác ADC là tam giác vuông tại D.

Áp dụng đinh lí Py ta go vào tam giác vuông ACD ta có:

AC2 = AD2 + DC2 = 32 + 42 = 25

Suy ra: AC = 5cm

Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB // CD và C – B = 30o. Tính số đo góc C

Giải 

Vì hình thang ABCD có AB // CD nên B + C = 180o (tổng hai góc trong cùng phía)

C = 180o – B

Mà C – B = 30o nên 180o – B – B = 30o B = 75o

C = 180o – B = 180o – 75o = 105o

Góc ngoài tại đỉnh B có số đo là: 180o – D = 180o – 107o  = 73o 

Bài 3: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 3cm, đường AH = 5cm, và  D = 45o. Độ dài đáy lớn CD bằng.

Giải 

Ta có tam giác ADH vuông cân tại H vì D = 45o

Do đó DH = AH = 5cm

Mà DH = 12(CD – AB)

Suy ra CD = 2DH + AB = 2.5 + 3 = 13 (cm)

Vậy CD = 13 cm

Bài 4: Cho hình thang cân ABCD đáy nhỏ AB = 12cm, đáy lớn CD = 22cm, cạnh bên BC = 13cm. Tính đường cao AH

Giải 

Ta có: DH = 12(CD – AB) = 12(22 – 12) = 5 cm

Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 13 cm

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ADH vuông tại H ta có

AD2 = AH2 + DH2

⇒ AH2 = AD2 – DH2 = 132 – 52

⇒ AH = 12

Vậy AH = 12cm

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC sao cho AD = AE. Tứ giác BDEC là hình gì?

Giải 

Tam giác ADE có AD = AE (gt) nên tam giác ADE cân tại A.

Suy ra ADE = AED = (180o – DAE) : 2 (1)

Tam giác ABC cân tại A (gt) nên ABC = ACB = (180o – BAC) : 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra ADE = ABC 

Mà 2 góc ADE và ABC là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra DE // BC

Tứ giác BDEC có DE // BC nên tứ giác BDEC là hình thang

Lại có ABC = ACB (vì tam giác ABC cân tại A) nên BDEC là hình thang cân

3. VẬN DỤNG (4 câu)

Bài 1: Cho hình thang cân ABCD đáy nhỏ AB = 4cm, đáy lớn CD = 10cm, cạnh bên BC = 5cm. Tính đường cao AH

Giải 

Kẻ BK ⊥ DC tại K.

Vì ABCD là hình thang cân nên ta có:

Xét ∆AHD và ∆BKC có 

D = C

AD = BC

∆AHD và ∆BKC (ch – gn)

DH = CK

DH = 12(CD – AB) = 12(10 – 4) = 3 cm

Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 5 cm

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ADH vuông tại H ta có

AD2 = AH2 + DH2

⇒ AH2 = AD2 – DH2 = 52 – 32

⇒ AH = 4

Vậy AH = 4cm

Bài 2: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh DE = BD + CE

Giải 

Vì DE // BC (gt) nên:

       DIB = IBC (sol e trong)

Mà DBI = IBC (gt) nên:

       DIB = DBI

Tam giác BDI cân tại D

DI = DB (1)

Ta có IE // CB (gt) nên:

       EIC = BCI (sol e trong)

Mà BCI = ECI (gt) nên:

       ECI = EIC

Tam giác EIC cân tại E

EI = EC (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: DI + EI = BD + CE

⇒ DE = BD + CE

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Tứ giác BMNC là hình gì?

Giải 

Ta có AB = AM + MB và AC = AN + NC

Mà AB = AC (do tam giác ABC cân tại A) và BM = NC (gt)

Suy ra AN = AM

Xét tam giác AMN cân tại A AMN = ANM

Xét tam giác ANM có: A + AMN + ANM = 180o (tổng ba góc trong một tam giác)

AMN = 180o-A2 (AMN = ANM) (1)

Xét tam giác ABC cân tại A ta có: A + B + C = 180o (tổng ba góc trong một tam giác)

 B = 180o-A2 (B = C) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AMN = B

Mà AMN và B là hai góc đồng vị nên MN // BC

Xét tứ giác MNCB có MN // BC nên MNCB là hình thang.

Lại có B = C (do ΔABC cân tại A) nên MNCB là hình thang cân

Bài 4: Cho hình thang cân MNPQ (MN // PQ) có góc  MQP = 45o và hai đáy có độ dài 12cm, 40cm. Tính diện tích của hình thang cân.

Giải

Kẻ MH ⊥ QP; NK ⊥ QP tại H, K ⇒ MH // NK

Tứ giác MNHK có MN // HK nên MNHK là hình thang, lại có MH // NK

⇒ MN = HK; MH = NK

(Vì hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau)

Lại có

MQ = NP (vì MNPQ là hình thang cân) suy ra ΔMQH = ΔNKP (ch – cgv)

QH = KP = QP-HK2

Mà HK = MN = 12 cm nên QH = KP = 40-122 = 14 cm

Mà  MQP = 45o  ⇒ ΔMHQ vuông cân tại H ⇒ MH = QH = 14 cm

Diện tích hình thang cân MNPQ là

SMNPQ = MN+PQ.MH2 = 12+40.142 = 364 cm2

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, M là điểm bất kì nằm giữa hai điểm A và B. Trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN = BM. Vẽ ME và NF lần lượt vuông góc với đường thẳng BC. Gọi I là giao điểm của MN và BC.

1. a) Chứng minh IE = IF
2. b) Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = CN. Chứng minh tứ giác BMDC là hình thang cân

Giải

1. a) Xét ΔMBE vuông tại E và ΔNCF vuông tại F có

MB=CN

MBE = NCF (= ACB )

Do đó: ΔMBE = ΔNCF (ch – gn) 

Suy ra: ME = NF

Xét ΔMIE vuông tại E và ΔNIF vuông tại F có

ME = NF

MIE = NIF (đối đỉnh)

Do đó: ΔMIE = ΔNIF (cgv – gnk) 

Suy ra: IE = IF

1. b) Do ∆ABC cân tại A nên AB = AC, mà MB = DC (= CN) nên AM = AD

∆AMD cân tại A AMD = 180o-A2

Xét ∆ABC có ABC = 180o-A2

AMD = ABC MD // BC MDCB là hình thang

Do MBC = DCB (∆ABC cân tại A) 

BMDC là hình thang cân (đpcm)

Bài 2: Cho tam giác ABC đều, điểm M nằm trong tam giác đó. Qua M, kẻ đường thẳng song song với AC và cắt BC ở E, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở F, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D. Chứng minh rằng

1. a) AFMD, BDME, CEMF là hình thang cân
2. b) DME = FME = DMF
3. c) Điểm M phải ở vị trí nào để ∆DEF là tam giác đều? Trong trường hợp này, tính chi vi của ∆DEF theo chiều cao AH của ∆ABC

Giải

1. a)  Có ∆ABC đều BAC = ABC

mà FM // AD ADM = ABC (đồng vị) 

BAC = ADM

Xét tứ giác AFMD có 

AD // FM (gt)

BAC = ADM

AFMD là hình thang cân

Chứng minh tương tự ta được BDME, CEMF là các hình thang cân

1. b) AFMD là hình thang cân DMF + DAF = 180o

BDME là hình thang cân   DME + DBE = 180o 

CEMF là hình thang cân   FME + FCE = 180o

Có ∆ABC đều BAC = ABC =  BCA = 60o 

DME = FME = DMF = 60o

1. c) ∆DEF là tam giác đều DE = DF = FE AM = BN = CM

M phải cách đều ba điểm của tam giác ABC

Vậy M là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC

Do ∆ABC đều nên M đồng thời là trọng tâm và AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên AM = 23 AH = 23a DE = DF = FE = 23a

Vậy chu vi tam giac DEF bằng DE + DF + EF = 2a 

Bài 3: Cho tứ giác ABCD có AD = AB = BC và A + C = 180o. Chứng minh rằng

1. a) Tia DB là phân giác góc D
2. b) Tứ giác ABCD là hình thang cân 

Giải

Trên tia DA lấy điểm E sao cho AE = CD.

Do A + C = 180o (gt) suy ra BAE = BCD (cùng bù với BAD)

Từ đây ta được ∆BAE = ∆BCD (c.g.c)

E = BDC; BE = BD ∆BDE cân tại B

E = BDA BDC = BDA

Vậy tia DB là phân giác góc D

1. b) Có AB = AD ∆ABD cân tại A

BDA = ABD BDC = ABD mà hai góc ở vị trí so le trong AB // DC

ABC + BCD = 180o

Mà BAD + BCD = 180o (gt) 

BAD =ABC 

Vậy ABCD là hình thang cân