CHƯƠNG 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

BÀI 6: CỘNG, TRỪ PHÂN THỨC

(18 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Thực hiện phép tính x+12x+6 + 2x+3xx+3 

Giải

x+12x+6 + 2x+3xx+3 = x+12(x+3) + 2x+3xx+3 = x(x+1)2x(x+3) + 2(2x+3)2xx+3 = x2+x+4x+62x(x+3) =(x+2)(x+3)2x(x+3) = x+22x

Bài 2: Thực hiện phép tính 1x2+6x+9 + xx2-9

Giải

1x2+6x+9 + xx2-9 = 1x+32 + x(x+3)(x-3) = x-3x+32(x-3) + x(x+3)x+32(x-3) = x-3+ x(x+3)x+32(x-3)

                         = x2+4x-3x+32(x-3)

Bài 3: Thực hiện phép tính x+1x-3 –  1-xx+3 

Giải

   x+1x-3 –  1-xx+3 = x+1x-3 –  1-xx+3  =  (x+1)(x+3)x-3 –  (1-x)(x-3)x+3 = x2+4x+3-x-3-x2+3x(x-3)(x+3)

                    = x2+4x+3-4x+3+x2 (x-3)(x+3) = 2x2+6  (x-3)(x+3) 

Bài 4: Thực hiện phép tính 2x5x+5 – xx-1

Giải

2x5x+5 – xx-1 = 2x5(x+1) –  xx-1 = 2x(x-1)5(x+1)(x-1) –  5x(x+1)5(x+1)(x-1) = 2x2-2x-5x2-5x5(x+1)(x-1) = -3x2-7x5(x2-1)

Bài 5: Thực hiện phép tính x+2x2-9 – 1x2+3x

Giải

x+2x2-9 – 1x2+3x = x+2(x-3)(x+3) – 1x(x+3) = x(x+2)x(x-3)(x+3) – x-3x(x-3)(x+3) = xx+2-(x-3)x(x-3)(x+3) 

                     = x2+2x-x+3x(x-3)(x+3) = x2+x+3x(x2-9)

Bài 6: Thực hiện phép tính 5xx-2 + 12-x2x-x2

Giải

5xx-2 + 12-x2x-x2 = 5xx-2 + x-12x2-2x = 5xx-2 + x-12x(x-2)  = 5x.xx(x-2) + x-12x(x-2)  = 5x2+ x-12x(x-2) = 5x2+ x-12x2-2x

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Bài 1: Thực hiện phép tính x+1x-3 –  1-xx+3 – 2x1-x9-x2

Giải

   x+1x-3 –  1-xx+3 – 2x1-x9-x2 = x+1x-3 –  1-xx+3 + 2x1-xx2-9 = x+1x-3 –  1-xx+3 + 2x1-x(x-3)(x+3)

                                    = (x+1)(x+3)x-3 –  (1-x)(x-3)x+3 + 2x1-x(x-3)(x+3)

                                    = x2+4x+3-x-3-x2+3x +2x -2x2  (x-3)(x+3)

                                     = x2+4x+3-4x+3+x2 +2x -2x2  (x-3)(x+3)

                                     = 2x+6  (x-3)(x+3) = 2(x+3)  (x-3)(x+3) = 2x-3

Bài 2: Thực hiện phép tính xx+1 – x3-2x2x3+1

Giải

xx+1 – x3-2x2x3+1 = xx+1 – x3-2x2(x+1)(x2-x+1) = x(x2-x+1)(x+1)(x2-x+1) – x3-2x2(x+1)(x2-x+1) = x3-x2+x-(x3-2x2)(x+1)(x2-x+1)

                     = x3-x2+x-x3+2x2(x+1)(x2-x+1) = x2+x(x+1)(x2-x+1) = x(x+1)(x+1)(x2-x+1) = xx2-x+1

Bài 3: Thực hiện phép tính x+12x-2 + 3x2-1 – x+32x+2

Giải

x+12x-2 + 3x2-1 – x+32x+2 = x+12(x-1) + 3(x-1)(x+1) – x+32(x+1) 

                              = (x+1)(x+1)2(x-1)(x+1) + 3×22(x-1)(x+1) – (x+3)(x-1)2(x-1)(x+1)

                              = x2+4x+1+6-x2-x-3x+32(x-1)(x+1)

                              = 102(x-1)(x+1) = 5x2-1

Bài 4: Thực hiện phép tính 18x-3x2-9 – 3x2-6x+9 – xx2-9

Giải

18x-3x2-9 – 3x2-6x+9 – xx2-9 = 18x-32(x+3) – 3x-32 – xx-3(x+3) 

                                             = 18x-32(x+3) – 3(x+3)x-32(x+3) – x(x-3)x-32(x+3) = 18-3x-9-x2+3xx-32(x+3) 

                                             = 9-x2x-32(x+3) = (3-x)(3+x)x-32(x+3) = -(x-3)x-32 = -1x-3

Bài 5: Thực hiện phép tính  3x+1x-12 – 1x+1 + x+31-x2

Giải 

3x+1x-12 – 1x+1 + x+31-x2 = 3x+1x-12 – 1x+1 –  x+3x2-1 

                               = 3x+1x-12 – 1x+1 –  x+3(x-1)(x+1)

                               = (3x+1)(x+1)x-12(x+1) – x-12x-12(x+1) –  (x+3)(x-1)x-12(x+1)

                               = 3x+1x+1-x-12-(x+3)(x-1)x-12(x+1) 

                               = 3x2+3x+x+1-x2-2x+1-(x2-x+3x-3)x-12(x+1) 

                               = 3x2+3x+x+1-x2+2x-1-x2+x-3x+3x-12(x+1) 

                               = x2+4x+3x-12(x+1) = (x+1)(x+3)x-12(x+1) = x+3x-12

3. VẬN DỤNG (4 câu)

Bài 1: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức x+1x2-x + x+21-x2 với x = -13 

Giải 

x+1x2-x + x+21-x2 = x+1x2-x – x+2x2-1 = x+1x(x-1) – x+2(x-1)(x+1) = (x+1)(x+1)x(x-1)(x+1) – x(x+2)x(x-1)(x+1)

                   = x+12x(x-1)(x+1) – x(x+2)x(x-1)(x+1) = x2+2x+1-(x2+2x)x(x-1)(x+1) = x2+2x+1-x2-2xx(x-1)(x+1) 

                   = -1x(x-1)(x+1)

Thay x = -13 ta được -1x(x-1)(x+1) = -1-13-13-1-13+1 = 278

Bài 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y, z

A = yx-yy-z + zy-zz-x + xz-xx-y

Giải 

A = yx-yy-z + zy-zz-x + xz-xx-y

    = y(z-x)x-yy-z(z-x) + z(x-y)(x-y)y-zz-x + x(y-z)(x-y)y-zz-x

    = yz-yx+zx-zy+xy-xzx-yy-z(z-x) = 0

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào x, y, z

Bài 3: Tìm x, biết x – 3a+bb = 2a2-2abb2-ab (a, b là những hằng số)

Giải

x – 3a+bb = 2a2-2abb2-ab x = 2a2-2abb2-ab + 3a+bb x = 2a(a-b)b(b-a) + 3a+bb 

                                x = -2a(a-b)b(a-b) + 3a+bb x = 3a+bb -2ab

                                x = 3a+b-2ab x = a+bb

Bài 4: Tìm x, biết x + (a + b)2 = a4+b4a-b2 (a, b là những hằng số)

Giải

x + (a + b)2 = a4+b4a-b2 x = a4+b4a-b2 – (a + b)2 x = a4+b4a-b2 –a+b2a-b2a-b2 

                                x = a4+b4-a+b2a-b2a-b2 x = a4+b4-a2-b22a-b2  

                                x = a4+b4-(a4-2a2b2+b4)a-b2 x = a4+b4-a4+2a2b2-b4a-b2

                                x = 2a2b2a-b2

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Bài 1: Một canô đi xuôi từ A đến B ngược về A. Khoảng cách từ A đến B là s km. Vận tốc cano trong nước yên lặng là v km/h, vận tốc dòng nước là 4 km/h. Hãy biểu diễn thời gian cano đã đi dưới dạng phân thức đại số. Tính thời gian nếu s = 48km, v = 20km/h

Giải

Thời gian cano xuôi dòng là sv+4 (h)

Thời gian cano ngược dòng là sv-4 (h)

Thời gian cano đã đi xuôi và ngược dòng là sv+4 + sv-4 (h)

Thay s = 48 km, v = 20 km/h ta có

sv+4 + sv-4 = 4820+4 + 4820-4 = 4824 + 4816 = 2 + 3 = 5 (h)

Bài 2: Rút gọn biểu thức A = 1a-b + 1a+b + 2aa2+b2 + 4a3a4+b4 + 8a7a8+b8

Giải

 A = 1a-b + 1a+b + 2aa2+b2 + 4a3a4+b4 + 8a7a8+b8

    = a+b(a-b)(a+b) + a-b(a-b)(a+b) + 2aa2+b2 + 4a3a4+b4 + 8a7a8+b8

    = a+b+a-b(a-b)(a+b) + 2aa2+b2 + 4a3a4+b4 + 8a7a8+b8

    = 2aa2-b2 + 2aa2+b2 + 4a3a4+b4 + 8a7a8+b8

    = 2a(a2+b2)(a2-b2)(a2+b2) + 2a(a2-b2)(a2-b2)(a2+b2) + 4a3a4+b4 + 8a7a8+b8

    = 2a3+2ab2+2a3-2ab2(a2-b2)(a2+b2) + 4a3a4+b4 + 8a7a8+b8

    = 4a3a4-b4 + 4a3a4+b4 + 8a7a8+b8

    = 4a3(a4+b4)(a4+b4)(a4-b4) + 4a3(a4-b4)(a4+b4)(a4-b4)+ 8a7a8+b8

    = 4a7+4a3b4+3a7-4a3b4(a4+b4)(a4-b4) + 8a7a8+b8

    = 8a7a8-b8 + 8a7a8+b8 = 8a7(a8+b8)(a8+b8)(a8-b8) + 8a7(a8-b8)(a8+b8)(a8-b8) 

    = 8a15+8a7b8+8a15-8a7b8(a8+b8)(a8-b8) = 16a15a16-b16 (a ≠±b)

Bài 3: Rút gọn biểu thức B = 1aa+a + 1a2+3a+2 + 1a2+5a+6 + 1a2+7a+12 + 1a2+9a+20

Giải 

B = 1a2+a + 1a2+3a+2 + 1a2+5a+6 + 1a2+7a+12 + 1a2+9a+20

    = 1a(a+1) + 1(a+1)(a+2) + 1(a+2)(a+3) + 1x+3(x+4) + 1(a+4)(a+5)

Ta có 1a(a+1) = a-a+1aa+1 = a+1-aaa+1 = 1a – 1a+1

B  = 1a(a+1) + 1(a+1)(a+2) + 1(a+2)(a+3) + 1a+3(a+4) + 1(a+4)(a+5)

         = 1a – 1a+1 + 1a+1 – 1a+2 + 1a+2 – 1a+3 + 1a+3 – 1a+4 + 1a+4 – 1a+5

         = 1a – 1a+5 = a+5a(a+5) – aa(a+5) = a+5-aa(a+5) = 5a(a+5)